小学奥数同余问题.doc
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1、同余问题(一) 在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如:现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分?我们知道一天是24小时,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。 记作:(mod7) “”读作同余。 一般地,两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同,就称a、b对于模m同余,记作:2. 同余的性质 (1)(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。) (2)若,那
2、么(这称作同余的对称性) (3)若,则(这称为同余的传递性) (4)若,则()(这称为同余的可加性、可减性) (称为同余的可乘性) (5)若,则,n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象: 如果 那么(的差一定能被k整除) 这是为什么呢? k也就是的公约数,所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几? 分析与解答: 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以,说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。例2. 除以
3、19,余数是几? 分析与解答: 如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。例3. 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几?最后余数是几? 分析与解答: 这个数除以13,商是有规律的。 商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。 余数是几呢? 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。【模拟试题】(答题时间:20分钟)1. 求下列算式中的余数。 (1) (2)
4、(3) (4)2. 6254与37的积除以7,余数是几?3. 如果某数除482,992,1094都余74,这个数是几?同余问题(二)【例题分析】例1. 除以7,余数是几? 分析与解答: 例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几?分析:假设这个自然数为a那么 这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下,使它们的余数相同,利用整除的知识,便容易考虑了,先看下面一道题:一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么,这个自然数若减去2,便同时是3,5,7的倍数,这样的自然数有:105,210,315,分别被3,5,7除余2的数是2,107,212,31
5、7,最小的自然数是2。回过头来看刚才的题,能不能把它也变为余数相同的数呢?稍加变式,可以写成:这样同时是3,5,7倍数的数有105,210,315,那么同时被3,5,7余8的数有:8,113,218,323,其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时,小明这样做: 所以余数是5 刘老师说,小明的算法不仅正确,而且巧妙迅速,你知道其中的道理吗? 分析与解答: 看了下面的算式,你就会明白的。 小明用的这种方法,有比较广泛的应用,常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时,常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分,对于这部分,简直可以“置之不理”,这样可以使解答过程简化。例4. 除
6、以3的余数是几?为什么? 分析与解答: 在上式的加项中,显然可以被3整除,因此只须计算被3除余数是几。 由于 因此 由此可知,只须计算被3除的余数,它又等于被3除的余数。由于,所以 所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日,再过天又是星期几?2. 求除以3所得的余数。3. 某数除680,970和1521,余数相同,这个数最大是几?4. 有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么,第1997个数被3除,余数是几?5. 若将一批货物共千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克?若每箱装17千克,最后还余多少千克?6、1309被一个质数相除,
7、余数是21,求这个质数。7、1796被一个质数相除,余数是24,求这个质数。8、求20012000除以7的余数。9、求123345+234456除以11的余数。10、有一个大于1的整数,它除1000、1975、2001都得到相同的余数,那么这个整数是多少?11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除,得到相同的余数,求这个自然数。12、两个自然数相除,商15,余3,被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。8、两数相除商40余7,被除数、除数、余数和商的和是710,求被除数。13、有一个数除以3余1,除以4余2,问这个数除以12,余数是几?14、一个数除以5余1,除以6余3,除以
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