北京市鲁迅中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

北京市鲁迅中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．以下命题（其中，表示直线，表示平面）：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，则
其中正确命题的个数是
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A. B.
C. D.
3．设：，：，则是的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知函数，，则函数的值域为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数取值范围为　　
A. B.
C. D.
6．若m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是（　　）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7．下列函数，表示相同函数的是（）
A.， B.，
C.， D.，
8．函数f（x）=的定义域为（　　）
A.（2，+∞） B.（0，2）
C.（-∞，2） D.（0，）
9．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则

A. B.
C. D.
10．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，则_____；_____
12．已知函数，则函数零点的个数为_________
13．函数的单调递增区间为_____________
14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为4的直角三角形，俯视图是半径为2的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为______

15．将函数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为____________
16．已知函数，若存在，使得f（）＝g（），则实数a的取值范围为___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
18．已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
19．已知函数.
（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，，将图象向右平移个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式，并求在上的单调递增区间；
（2）若函数，求的周期和最大值.
21．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；
②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；
③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；
④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错
正确命题个数为0个，
故选A.
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性质.
2、B
【解析】根据并集的定义进行求解即可.
【详解】由题意得，，显然中元素的个数是5.
故选：B
3、B
【解析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.
【详解】解：因为：，
所以：或，
因为：，
所以是的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.
4、B
【解析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
5、B
【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.
【详解】对于函数，当时，，
由，可得，
当时，，
由，可得，
对任意，，
对于函数，
，
，
，
对于，使得，
对任意，总存在，使得成立，
，解得，
实数的取值范围为，故选B
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.
6、A
【解析】对于A，因为垂直于同一平面的两条直线相互平行，故A正确；对于B，如果一条直线平行于一个平面，那么平行于已知直线的直线与该平面的位置关系有平行或在平面内，故B错；对于C，因同平行于一个平面的两条直线异面、相交或平行，故C错；对于D，与一个平面的平行直线垂直的直线与已知平面是平行、相交或在面内，故D错，选A.
7、B
【解析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可
【详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；
选项B，，为相同函数；
选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；
选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数
故选：B
8、B
【解析】列不等式求解
【详解】，解得
故选：B
9、C
【解析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题
10、D
【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解.
【详解】解：由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若，，则或，故A错误；
在B中，若，，则，故B错误；
在C中，若，，则或，故C错误；
在D中，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确；
故选：D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】利用指数式与对数的互化以及对数的运算性质化简可得结果.
【详解】因为，则，故.
故答案为：；2
12、
【解析】解方程，即可得解.
【详解】当时，由，可得（舍）或；
当时，由，可得.
综上所述，函数零点的个数为.
故答案为：.
13、
【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
14、
【解析】由题得几何体为圆锥的，根据三视图的数据计算体积即可
【详解】由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为2，母线长为4，
∴圆锥的高为
∴V=×π×22×=
故答案为

【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图和体积计算，属于基础题
15、
【解析】根据函数图象的变换，求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】由数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，
得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，即
令，函数的单调递增区间是
由，得，
的单调递增区间为.
故答案为：
16、
【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，故，即
因为，依题意得，解得
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）或.
【解析】（1）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线的方程；
（2）设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d，可得的长，由的面积最大，可得，可得k的值，可得直线的方程.
【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与圆M相切，所以符合题意 ,
当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，
则直线l的方程为，
即 ,
因为直线l与圆M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即,
解得，即直线l的方程为；
综上，直线l的方程为或,
（2）因为直线l与圆M交于P.Q两点，所以直线l斜率存在，
可设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d ,
则
从而的面积为·
当时，的面积最大 ,
因为，
所以，
解得或,
故直线l的方程为或.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.
18、（1）周期为，最大值为2，最小值为-1
（2）
【解析】（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以
又 所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而 所以
所以
所以 =.
考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式
19、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.
(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.
【小问1详解】
因函数的图象恒在直线上方，即，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是：.
【小问2详解】
依题意，，，
令，，
令函数，，，
，而，即，，
则有，即，于是得在上单调递增，
因此，，，即，从而有，则，
所以实数的取值范围是.
20、（1），增区间是
（2）周期为，最大值为.
【解析】（1）由图象平移写出的解析式，根据余弦函数的性质直接确定单调增区间.
（2）应用二倍角正弦公式可得，结合正弦型函数的性质求周期和最大值.
【小问1详解】
由题设，，而在上递减，上递增，
所以的单调增区间是.
【小问2详解】
由（1）有，
所以，最小正周期为，最大值为，此时.
综上，周期为，最大值为.
21、（1）＋1（2）
【解析】求出，的坐标，然后求解，以及平行四边形的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可；
利用三角函数的定义，求出，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值
解析：（1）由已知得，的坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以，

又因为平行四边形的面积为，
所以
又因为，所以当时，的最大值为
（2）由题意知，，
因为，所以，因为，所以
由，，得，，
所以，，
所以