2025-2026学年陕西省汉中市龙岗学校高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年陕西省汉中市龙岗学校高一数学第一学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点A（2，0）和点B（﹣4，2），则|AB|＝（ ）
A. B.2
C. D.2
2．方程的实数根大约所在的区间是　　
A. B.
C. D.
3．下列函数中，最小值是的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
6．已知角为第四象限角，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．下列函数是幂函数的是（）
A. B.
C. D.
8．已知命题，，则命题否定为（）
A.， B.，
C.， D.，
9．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调增区间是__________
12．函数最小正周期是________________
13．终边上一点坐标为，的终边逆时针旋转与的终边重合，则______.
14．将函数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为____________
15．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟

16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知幂函数的图象过点.
（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；
（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.
18．如图，在四边形中，，，，且.

（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.
19．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，求不等式的解集.
20．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明.
21．三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上高线AD所在直线的方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由平面两点的距离公式 计算可得所求值.
【详解】由点A（2，0）和点B（﹣4，2）,
所以
故选：D
【点睛】本题考查平面上两点间的距离，直接用平面上两点间的距离公式解决，属于基础题.
2、C
【解析】方程的根转化为函数的零点，判断函数的连续性以及单调性，然后利用零点存在性定理推出结果即可
【详解】方程的根就是的零点，
函数是连续函数，是增函数，
又，，
所以，
方程根属于
故选C
【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，考查计算能力
3、B
【解析】应用特殊值及基本不等式依次判断各选项的最小值是否为即可.
【详解】A：当，则，，
所以，故A不符合；
B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合；
C：当时，，不符合；
D：当取负数，，则，，
所以，故D不符合；
故选：B.
4、C
【解析】由在，上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围
【详解】解：由在上单调递减，得，
又由且在上单调递减，
得，解得，所以，
作出函数且在上的大致图象，

由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当，即时，联立，即，
则，解得：，
当时，即，由图象可知，符合条件
综上：
故选：C
5、C
【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
6、C
【解析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.
【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，
故选：C
7、C
【解析】由幂函数定义可直接得到结果.
【详解】形如的函数为幂函数，则为幂函数.
故选：C.
8、D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，直接选出答案.
【详解】命题，，是全称命题，
故其否定命题为：，，
故选：D.
9、A
【解析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.
【详解】半径为半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，
所以底面圆的半径为，圆锥的高为,
所以圆锥的体积为.
故选：A.
10、B
【解析】根据正弦、余弦、正切函数的周期性和单调性逐一判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于B，函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，符合题意；
对于C，函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，不符合题意；
对于D，函数的最小正周期为，不符合题意.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.
详解：，
，
，
由，
计算得出，
因此函数的单调递增区间为：，
故答案为，.
点睛：本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
12、
【解析】根据三角函数周期计算公式得出结果.
【详解】函数的最小正周期是
故答案为：
13、
【解析】由题知，进而根据计算即可.
【详解】解：因为终边上一点坐标为，
所以，
因为的终边逆时针旋转与的终边重合，
所以
故答案为：
14、
【解析】根据函数图象的变换，求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】由数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，
得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，即
令，函数的单调递增区间是
由，得，
的单调递增区间为.
故答案为：
15、10
【解析】借助三角函数模型，设，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.
【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.

设时，南鸢同学位于点，以为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意，可得，，
令，，可得，
所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是分钟，
故答案为：10.
16、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），在上是增函数；证明见解析（2）
【解析】（1）幂函数的解析式为，将点代入即可求出解析式，再利用函数的单调性定义证明单调性即可.
（2）由（1）可得当时，在上是增函数，利用函数为偶函数可得在上是减函数，由，，从而可得，解不等式即可.
【详解】（1）设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，
解得，
所以，所求幂函数的解析式为.
幂函数在上是增函数.
证明：任取，且，则

，
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数
（2）当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数.
又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.
由，可得：，
即，
所以满足时实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了幂函数、函数单调性的定义，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可
Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可
【详解】（Ⅰ）因为 ，
所以 .因为 ，
所以

（Ⅱ）因 ，
所以 .因为 ，
所以点共线.
因为，
所以.
以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

因为 ，，，
所以 .
所以 ，.
因为 点在线段上，且，
所以
所以 .
因为 ，
所以 .
【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题
19、（1）或
（2）答案见解析
【解析】（1）由已知得，4是方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系求得m，n，代入不等式，求解可得答案；
（2）代入已知条件得，分，，，，，分别求解不等式可得答案.
【小问1详解】
解：依题意，的解集为，故，4是方程的两根，
则，解得，
故或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：依题意，，
若，（*）式化为，解得；
若，则；
当时，的解为或；
当时，（*）式化为，该不等式无解；
当时，的解为；
当时，的解为；
综上所述，若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为或；
若，不等式无解；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
20、（1）
（2）函数为偶函数，证明见解析
（3）函数在区间上单调递减，证明见解析
【解析】（1）根据对数的真数部分大于零列不等式求解；
（2）根据可证明为偶函数；
（3），，且，计算变形，判断符号即可判断出单调性.
【小问1详解】
根据题意，有得.
所以函数的定义域为.
【小问2详解】
函数为偶函数.
证明：函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数.
【小问3详解】
函数在区间上单调递减.
证明：，，且有
，
因为，

又
所以.
所以，即.
所以函数在区间上单调递减
21、（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0
【解析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；
（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可
【详解】（1）BC边所在直线的方程为：
=，
即x+2y-4=0；
（2）∵BC的斜率K1=-，
∴BC边上的高AD的斜率K=2，
∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），
即2x-y+6=0
【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题