山西省长治市第二中学校2026届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

山西省长治市第二中学校2026届高二数学第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某班新学期开学统计新冠疫苗接种情况，已知该班有学生45人，其中未完成疫苗接种的有5人，则该班同学的疫苗接种完成率为（ ）
A. B.
C. D.
2．圆和圆的位置关系是（）
A.内含 B.内切
C.相交 D.外离
3．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（）
A. B.
C. D.
5．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（）
A.a，b中只有一个为0 B.a，b至少一个不为0
C.a，b至少有一个为0 D.a，b全为0
6．函数的大致图象为
A. B.
C. D.
7．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（）
（次数/分钟）
20
30
40
50
60
（℃）
25
27.5
29
32.5
36
A.的值是20
B.变量，呈正相关关系
C.若的值增加1，则的值约增加0.25
D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
8．已知，，若，则实数（）
A. B.
C.2 D.
9．已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )

A.在上为减函数 B.在处取极小值
C.在上为减函数 D.在处取极大值
10．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A.4 B.2
C. D.
11．若不等式在上有解，则的最小值是（ ）
A.0 B.-2
C. D.
12．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________
14．已知等差数列满足，请写出一个符合条件的通项公式______
15．数列满足，，则______.
16．设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，
（1）求的最大值；
（2）求证：对于任意恒成立．（参考数值：）
18．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.
19．（12分）已知椭圆C：经过点，且离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由
20．（12分）已知数列是递增的等比数列，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
21．（12分）一个盒中装有编号分别为、、、的四个形状大小完全相同的小球.
（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率.
22．（10分）年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份编号

年份

单价（元/公斤）

经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；
（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由
附：，
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用古典概型的概率求解.
【详解】该班同学的疫苗接种完成率为
故选：D
2、C
【解析】根据两圆圆心的距离与两圆半径和差的大小关系即可判断.
【详解】解：因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心的距离为，
因为，即，
所以圆和圆的位置关系是相交，
故选：C.
3、D
【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.
【详解】根据题意，令，其中，则，
∵，∴，
∴在上为单调递减函数，
∴，即，，则错误；
，即，则错误；
，即，则错误；
，即，则正确；
故选：.
4、B
【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.
【详解】设等差数列公差为，
由得：；又，
，.
故选：B.
5、D
【解析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设
【详解】由于“a，b不全为0”的否定为：“a，b全为0”，
所以假设正确的是a，b全为0.
故选：D
6、D
【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B
【详解】解：由可得
所以函数为偶函数，排除A、C.
因为时，，排除B.
故选：D.
7、D
【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.
【详解】由题意，得，
，
则，故A正确；
由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确；
若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：D.
8、D
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.
【详解】因，，又，则，解得，
所以实数.
故选：D
9、C
【解析】首先利用导函数的图像求和的解，进而得到函数的单调区间和极值点.
【详解】由导函数的图象可知:当时，或；
当时，或，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和，
故在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.
故选：C.
10、B
【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意可知、，
又且，
所以，，，，
则，
且，
即，即，
所以离心率.
故选：B
11、D
【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.
【详解】不等式在上有解,
即为在上有解,
设,则在上单调递减,
所以,
所以,即,
故选:D.
【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.
12、A
【解析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.
【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，
因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，
从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，，而，整理得，即，解得，
又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.
【详解】
双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，

设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，
由焦点到渐近线的距离为得，
又，∴，且，
∴，
∴，
则.
故答案为：.
14、3（答案不唯一）
【解析】由已知条件结合等差数列的性质可得，则，从而可写出数列的一个通项公式
【详解】因为是等差数列，且，所以，
当公差为0时，；公差为1时，；…
故答案为：3（答案为唯一）
15、
【解析】根据递推关系依次求得的值.
【详解】依题意数列满足，，
所以.
故答案为：
16、
【解析】由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，化简得，
因为等比数列的各项为正数，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】此题考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.
（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.
【小问1详解】
，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故.
【小问2详解】
因为，故当时，，
即，
而在为减函数，
故在上有，
故任意的，总有.
要证任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
由（1）可得，任意，有即，
故即证：任意恒成立，
设，即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
设，
则，而在为增函数，
，故存在，使得，
且时，，时，，
故在为减函数，在为增函数，
故任意，总有，
故任意恒成立，
所以任意恒成立.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可
【小问1详解】
依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，
则，，，，
椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设，，，，
由得
由得
由，
得
设，则，
当直线的斜率不存在时，，的最大值为
19、（1）
（2）存在，，
【解析】（1）利用离心率和椭圆所过点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.
【小问1详解】
因为椭圆C：的离心率，且过点
所以解得
所以椭圆C的方程为
【小问2详解】
假设存在⊙O：满足题意，
①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，
消去y得，(*)
设，，由题意知，(*)有两解
所以，即
由根与系数的关系可得
，
所以
因为，所以，即
化简得，且，
O到直线l的距离
所以，又，此时，所以满足题意
所以存在圆的方程为⊙O：
△AOB的面积，
又因为
当k≠0时

当且仅当即时取等号
又因为，所以，所以
当k＝0时，
②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点
易知存在圆的方程为⊙O：且
综上，所以
【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式；
（2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，所以有，，
联立两式解得或
又因为数列是递增的等比数列，所以，所以
数列的通项公式为；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴
21、（1）基本事件答案见解析，概率为；（2）基本事件答案见解析，概率为.
【解析】（1）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的球的编号之和大于”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果；
（2）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】（1）记“从盒中任取两球，取出球的编号之和大于”为事件，
样本点表示“从盒中取出、号球”，且和表示相同的样本点（以此类推），
则样本空间为，则，
根据古典概型可知，
从盒中任取两球，取出球的编号之和大于的概率为；
（2）记“”为事件，
样本点表示第一次取出号球，将球放回，从盒中取出号球（以此类推），
则样本空间，
则，
所以，故事件 “”的概率为.
22、（1），元/公斤；（2）应该种植经济作物；理由见解析
【解析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解.
【详解】（1），

，

则关于回归直线方程为
当时，，
即估计年经济作物的单价为元/公斤
（2）利用频率和为得：
，
所以
经济作物的亩产量的平均值为：，
故经济作物亩产值为元，
经济作物亩产值为元
，
应该种植经济作物