江西省南昌市八一中学2025年高二上数学期末统考试题含解析.doc

江西省南昌市八一中学2025年高二上数学期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
3．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A. B.0
C.3 D.5
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A.2 B.6
C.4 D.12
5．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()
A. B.
C. D.
7．函数的导函数的图像如图所示，则（）

A.为的极大值点
B.为的极大值点
C.为的极大值点
D.为的极小值点
8．抛物线的焦点到其准线的距离是（）
A.4 B.3
C.2 D.1
9．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）
A.2 B.
C. D.3
10．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
11．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
12．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数、满足，则的最大值为__________
14．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.
15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.
16．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若＝·，求数列的前n项和
18．（12分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前n项和.
19．（12分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
20．（12分）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的极大值与极小值；
（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA、OB，l于点P、Q、N

（1）试探索PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
（2）当P、Q是线段MN的三等分点时，求直线AB的斜率；
（3）当P、Q不是线段MN的三等分点时，证明：以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可.
【详解】由题知，，
当时，，即速度为7.
故选：B
2、C
【解析】设，代入双曲线方程相减后可求得，从而得渐近线方程
【详解】设，则，相减得，
∴，又线段的中点为P(2，4)，的斜率为1，
∴，，∴渐近线方程为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，已知弦的中点（或涉及到中点），可设弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差，作差后式子中有直线的斜率，弦中点坐标，有．这种方法叫点差法
3、D
【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果
【详解】不等式组表示的可行域，如图所示

由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：D
4、C
【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：C
5、D
【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.
【详解】当A在圆内时，如图，

,
所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，
，此时，，.
当A在圆外时，如图 ，

因为，
所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，
，此时，，.
综上可知，.
故选：D
6、A
【解析】利用为定值即可获解.
【详解】
设
则
又,所以
所以

当且仅当,即,取等
故选:A
7、A
【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值
【详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，
所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，
故选：A
8、C
【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.
【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.
9、C
【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】因为数列满足，，（且）
所以，
，
，
，
因为恒成立，
所以，则M的最小值是，
故选：C
10、D
【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程
【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴
则其标准方程可设为：
则准线方程为：
解得：
则抛物线的标准方程为：
故选：D
11、C
【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.
【详解】函数
则
因为函数在上有且仅有一个极值点
即在上有且仅有一个零点
根据函数零点存在定理可知满足即可
代入可得
解得
故选:C
【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.
12、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】直接利用均值不等式得到答案.
【详解】，
当即时等号成立.
故答案为
【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.
14、 ①.x轴或直线 ②.
【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.
【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，
又，解得，此时曲线与都关于直线对称，
曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.
故答案为：x轴或直线；
15、
【解析】求解定义域，由导函数小于0得到递减区间，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】显然，且，由，以及考虑定义域x>0，解得:.
在区间，上单调递减，∴，解得:.
故答案为：
16、9
【解析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；
（2）分析可知应用错位相减法求数列的和
【详解】（1）由知，数列是等差数列，
设其公差为，
则，
所以，
，
即数列的通项公式为
（2），

，
，
两式相减得：，
整理得：，
所以
18、（1）
（2）
【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；
(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.
【小问1详解】
三点共线，

【小问2详解】

①
②
①—②得

19、（1）
（2）
【解析】(1)利用等差数列的性质可得 ,联立方程可得 ,代入等差数列的通项公式可求;
(2)代入等差数列的前和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.
【详解】（1）为等差数列，，
又
是方程的两个根，

（2）由（1）可知，

为等差数列，
舍去)
当时，为等差数列，满足要求
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出即可得出；
（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.
【小问1详解】
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.
21、（1）的极大值为0,的极小值为（2）2
【解析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；
（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.
【详解】解:（1）当时，，
所以，令，则或，
则当和时，；当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减,
所以极大值为；的极小值为.
（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值即为的极小值；
因为,,所以，
因为，则，
所以.
【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.
22、（1），证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）根据已知条件设出直线方程及，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质即可求解；
（2）根据已知条件得出，运用韦达定理和弦长公式，可得出直线的斜率；
（3）根据（1）的结论及求根公式，求得点的坐标，结合的表达式，结合图形可知,由的范围和的取值即可证明.
【小问1详解】
由题意可知，抛物线的焦点为,
设直线的方程为，则
，消去，得，
，
，
所以直线的方程为，
由因为三点共线，所以，
，
同理，
，
,
所以，所以.
【小问2详解】
因为P、Q是线段MN的三等分点，所以，
，，
又，
，
所以，
所以，解得或（舍）
所以直线AB的斜率为.
【小问3详解】
由（1）知，，得，

所以，，
又,
,
,
,
当时，,
由图可知，,而只要，就有,
所以当P、Q不是线段MN的三等分点时，以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP