物理中求极值的常用方法.doc
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1、物理解题中求极值的常用方法 运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,若a0,则当x=-时,y有极小值,为ymin=;若a0,则当x=-时,y有极大值,为ymax =;2
2、、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax2+bx+c,用判别式法利用b2-4ac0。(式中含y)若yA,则yminA。若yA,则ymaxA。3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数:(1)当xA时,常数为极小值;或者函数解析式经配方可变为y = ( xA )2+常数。(2)当xA时,常数为极大值。4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为,式中a、b可以是单个变量,也可以是多项式。当ab时, (a+b)min2 。当ab时, (a+b) max。5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解。
3、若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式,则y=Asin2,在=45时,y有极值。对于复杂的三角函数,例如y=asin+bcos,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin和cos,变成同名的三角函数,比如sin(+) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。ab图1考虑asin+bcos () (cossin+sincos)sin(+)其最大值为。6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,作出其图象,由图象可求得极值。7、用分析法求极值分析物理过程,根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。例1:如图2所示的电路中。电源的电动
4、势12伏,内阻r0.5欧,外电阻R12欧,R23欧,滑动变阻器R35欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置,电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?R1R3apbVR2图2分析:设aP间电阻为x,外电路总电阻为R. 则: 先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax,下面用四种方法求解Rmax。 方法一 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为yax2+bx+c。考虑R=,设y-x2+6x+16,当x 3时,Rmax(3) 2.5。 方法二 用配方法求解考虑R =。即x3时,Rmax。方法三 用判别式法求解考虑R ,则有-x2+6x+16-10R0,b2-
5、4ac36-4(-1)(16-10R)0,即:100-40R0,R2.5,即Rmax2.5。 方法四 用均值定理法求解考虑R,设a2+x;b8-x。当ab时,即2+x8-x,即x3时,Rmax(3) 2.5。也可以用上面公式(a+b)max25,Rmax2.5。以上用四种方法求出Rmax2.5,下边求伏特计的最大读数。Imin4(A)。Umax- Iminr12-40.510(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处,伏特计有最大值,最大值为10伏。例2:如图3所示。光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停着一个质量为M0.99kg的木块,一颗质量为m0.01Kg的子弹,以V
6、0=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析:当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大?且最大值为多少? 图3Mmv0RO 解析子弹与木块发生碰撞的过程,动量守恒,设共同速度为V1,则:mV0(m+M)V1,所以:V1= 设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2,由于轨道光滑,故机械能守恒: 所以:V2=则平抛后的位移可以表示为:s =V2t =V2 4。因为a=-10,显然,当满足b2-4ac0,即182-43S0得:S27m,Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。例4:如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上
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