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平面向量复习讲义
一.向量有关概念:
1.向量得概念:既有大小又有方向得量,注意向量与数量得区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？(向量可以平移)。
2.零向量:长度为0得向量叫零向量,记作:,注意零向量得方向就是任意得;
3.单位向量:长度为一个单位长度得向量叫做单位向量(与共线得单位向量就是);
4.相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量与任何向量平行。
提醒:
①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性！(因为有);
6.相反向量:长度相等方向相反得向量叫做相反向量。得相反向量就是－。如
下列命题:(1)若,则。(2)两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同,终点相同。(3)若,则就是平行四边形。(4)若就是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确得就是_______
(答:(4)(5))
二.向量得表示方法:
1.几何表示法:用带箭头得有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示法:用一个小写得英文字母来表示,如,,等;
3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同得两个单位向量,为基底,则平面内得任一向量可表示为,称为向量得坐标,＝叫做向量得坐标表示。如果向量得起点在原点,那么向量得坐标与向量得终点坐标相同。
三.平面向量得线性运算:
(1)向量加法:
①三角形法则:(“首尾相接,首尾连”),如图,已知向量a、ｂ、在平面内任取一点,作＝,＝,则向量叫做与得与,记作
定:a + 0-= 0 +a
a
a=a,
当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;
当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,
当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;
若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、
结论:
②平行四边形法则:以同一起点得两个向量为邻边作平行四边形,则以公共起点为起点得对角线所对应向量就就是与向量。
③加法得运算律
1)向量加法得交换律:+=+
2)向量加法得结合律:(+) +=+ (+)
(2)向量减法:
向量减法得定义:向量a加上得b相反向量,叫做a与b得差、 即:a - b = a + (-b) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、
1、用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算:
若b + x = a,则x叫做a与b得差,记作a - b
O
a
b
B
a
b
a-b
2、求作差向量:已知向量a、b,求作向量a - b
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法:在平面内取一点O,
作= a, = b 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b得终点指向向量a得终点得向量、
由减向量得终点指向被减向量得终点。注意:此处减向量与被减向量得起点相同。
O
A
B
a
B’
b
-b
b
B
a+ (-b)
a
b
注意:1°表示a - b、 强调:差向量“箭头”指向被减数
2°用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b)
课堂练习:
1、化简:①___;②____;③_____
(答:①;②;③);
2、若正方形得边长为1,,则＝_____
(3)向量数乘:求实数λ与向量a得积得运算
1.、λa|＝|λ|_|a|_______;
2.当λ>0时,λa得方向与a得方向___相同_;当λ<0时,λa得方向与a得方向相反____;当λ＝0时,λa＝0____
3.向量数乘得运算律
λ(μa)＝_(λμ)a______;(λ＋μ)a＝___λa＋μa__;λ(a＋b)＝__λa＋λb_____。
(4)共线向量定理
a就是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b＝λa,则向量b与非零向量a共线.(证明三点共线)三点共线共线。
注意:(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线得`区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线就是指存在不全为零得实数λ1,λ2,使λ1a＋λ2b＝0成立,若λ1a＋λ2b＝0,当且仅当λ1＝λ2＝0时成立,则向量a、b不共线.
例1、　设两个非零向量a与b不共线,
(1)若＝a＋b,＝2a＋8b,＝3(a－b),求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka＋b与a＋kb共线.
四． 平面向量得基本定理:
如果e1与e2就是同一平面内得两个不共线向量,那么对该平面内得任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1＋e2
我们把不共线得向量e1与e2叫做表示这一平面内所有向量得一组基底。
向量得夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB＝,叫向量、得夹角,当,、同向,当,、反向,当,与垂直,记作⊥。
例1如图,在△ABC中,E、F分别为AC、AB得
中点,BE与CF相交于G点,设＝a,＝b,试用a,
b表示、
用方程思想解决平面向量得线性运算问题:
例2如图所示,在△ABO中,＝,＝,AD与BC相交于点M,设＝a,＝b、试用a与b表示向量、
解　设＝ma＋nb,
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb、
＝－＝－＝－a＋b、
又∵A、M、D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得＝t,
即(m－1)a＋nb＝t、
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb、
∴,消去t得,m－1＝－2n,
即m＋2n＝1、
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb,
＝－＝b－a＝－a＋b、
又∵C、M、B三点共线,∴与共线.
∴存在实数t1,使得＝t1,
∴a＋nb＝t1,
∴,消去t1得,4m＋n＝1、
由①②得m＝,n＝,∴＝a＋b、
课堂练习:
(1)若,则______
(答:);
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底得就是
A、 B、
C、 D、
(答:B);
(3)已知分别就是得边上得中线,且,则可用向量表示为_____
(答:);
(4)已知中,点在边上,且,,则得值就是___
(答:0)
五． 平面向量得坐标运算:
若在平面直角坐标系下,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)
(1)加法:a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2)
(2)减法:a－b＝(x1－x2,y1－y2)
(3)数乘:l a＝(l x1,l y1)
(4)向量得坐标:若A(x1,y1),B(x2,y2),则,一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标。
(5)中点坐标:若A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB得中点坐标为
(6)向量相等::若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则
(7)向量共线或平行:a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),若,则、
题型一 求向量得坐标
O
x
A
y
【例题1】如图所示,若,与轴正方向夹角为30°,求向量得坐标、
【例题2】得三个顶点得坐标分别就是,为得中点,求向量、
题型二 由向量相等求参数得值
【例题3】已知向量,若,求得值、
题型三 平面向量得坐标运算
1、 向量坐标运算得直接应用
【例题4】已知平面向量,则向量=( )
A、 B、 C、 D、
2、 利用向量坐标运算求点得坐标
【例题5】已知且,求得坐标、
题型四 平面向量平行得坐标运算
【例题6】(1)若向量,当＝_____时与共线且方向相同
(答:2);
(2)已知,,,且,则x＝______
(答:4);
(3)设,则k＝_____时,A,B,C共线
(答:－2或11)
六． 平面向量得数量积
(1)两个非零向量夹角得概念:
已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、
说明:1.当θ＝０时,ａ与ｂ同向;
2.当时,ａ与ｂ反向;
3.当时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;
4.注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0°≤q≤180°
(2)平面向量数量积(内积)得定义:
已知两个非零向量,它们得夹角就是θ,则数量叫得数量积,记作,即有=,(０≤θ≤π)、注意数量积就是一个实数,不再就是一个向量。
其中就是得夹角,叫做向量方向上(方向上)得投影。我们规定0向量与任何向量得数量积为0、
（3） 两个向量得数量积得性质:
设a、b为两个非零向量,
1.a^b Û a×b = 0
2.当a与b同向时,a×b = |a||b|; 当a与b反向时,a×b = -|a||b|、
特别得a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
　　3.当为锐角时,＞0,且不同向,就是为锐角得必要非充分条件;当为钝角时,＜0,且不反向,就是为钝角得必要非充分条件;当为直角时,=0、
（4） 向量得投影:
“投影”得概念:作图

定义:|b|cosq叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;
当q为锐角时投影为正值; 当q为钝角时投影为负值; 当q为直角时投影为0;
当q = 0°时投影为 |b|; 当q = 180°时投影为 -|b|、
向量得数量积得几何意义:
数量积a×b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosq得乘积、
(5)向量得运算律:
1.交换律:,,;
2.结合律:,;
3.分配律:,。
如
下列命题中:① ;② ;③
;④ 若,则或;⑤若则;⑥;⑦;⑧;⑨。其中正确得就是______
(答:①⑥⑨)
（6） 向量得数量积得坐标表示、模、夹角:
1． 数量积:a·b＝x1x2＋y1y2,两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与。
2.向量垂直:a⊥bx1x2＋y1y2＝0
3.向量得模长:若a＝(x,y),则
4.向量得夹角:若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则
5.两点间得距离:若,则
6.a在b方向上得正射影得数量为
课堂练习:
1、已知,,且,则向量在向量上得投影为______
(答:)
2、已知,,如果与得夹角为锐角,则得取值范围就是______
(答:或且);
3、已知得面积为,且,若,则夹角得取值范围就是_________
(答:);
4、△ABC中,,,,则_________
(答:－9);
5、已知,与得夹角为,则等于____
(答:1);
6、已知,则等于____
(答:);
7、已知均为单位向量,它们得夹角为,那么＝_____
(答:);
8、已知就是两个非零向量,且,则得夹角为____
七.向量中一些常用得结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成得向量与为零向量,要注意运用;
(2),特别地,当同向或有
;当反向或有;当不共线(这些与实数比较类似)、
(3)在中,①若,则其重心得坐标为。如
若⊿ABC得三边得中点分别为(2,1)、(-3,4)、　　　(-1,-1),则⊿ABC得重心得坐标为_______
(答:);
②为得重心,特别地为得重心;
③为得垂心;
④向量所在直线过得内心(就是得角平分线所在直线);
⑤得内心;
(3)若P分有向线段所成得比为,点为平面内得任一点,则,特别地为得中点;
(4)向量中三终点共线存在实数使得且、如
平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足,其中且,则点得轨迹就是_______
(答:直线AB)