高考数学专题《数列》超经典.doc
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1、高考复习序列-高中数学数列一、数列的通项公式与前n项的和的关系 (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)sn+1-sn-1=an+1+an (注:该公式对任意数列都适用)二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列 通项公式与公差:定义式:一般式:推广形式: ; 前项和与通项的关系: 前n项和公式:.前n项和公式的一般式: 应用:若已知,即可判断为某个等差数列的前n项和,并可求出首项及公差的值。与的关系:(注:该公式对任意数列都适用)例:等差数列, (直接利用通项公式作差求解) 常用性质:若m+n=p+q ,则有 ;特别地:若的等差中项,则有2
2、n、m、p成等差数列;等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等差数列;为公差为d等差数列,为其前n项和,则,也成等差数列,A、 构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=(S2m-Sm)- Sm;B、 对于任意已知Sm,Sn,等差数列 公差,即也构成一个公差为等差数列。若项数为偶数,设共有项,则偶奇; ;若项数为奇数,设共有项,则奇偶;。 例:已知等差数列,其中 解析:法一,用等差数列求和公式 求出法二,成等差数列,设公差为D,则:法三, 63. 等比数列的通项公式: 一般形式:;推广形式:,其前n项的和公式为:,或.数列为等比数列 常用性质: 若m+n=p+q ,则有 ;特别地
3、:若的等比中项,则有 n、m、p成等比数列; 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等比数列;为等比数列,为其前n项和,则,也成等比数列(仅当当或者且不是偶数时候成立);设等比数列的前项积为,则,成等比数列 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列. 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:是等差数列中项法:是等差数列一般通项公式法:是等差数列一般前项和公式法:是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法:(1)定义法:为等比数列;(2)中项法:为等比数列; (3)通项公式法:为等比数列; (4)前项和法:为等比数列。 为
4、等比数列。数列最值的求解(1),时,有最大值;,时,有最小值;(2)最值的求法:若已知,的最值可求二次函数的最值;可用二次函数最值的求法();或者求出中的正、负分界项,即:若已知,则最值时的值()可如下确定或。 例1:等差数列中,则前 项的和最大。【解析】:例2设等差数列的前项和为,已知 求出公差的范围, 指出中哪一个值最大,并说明理由。【解析】: 由,可知,n=12是前n项和正负分界项,故所以,最大变式:若等差数列的首项为为31,从第16项开始小于1 ,则此数列公差d的取值范围是 解析:,但要注意此时还要一个隐含条件,联立不等式组求解。3、若数列的前n项和,则 ,数值最小项是第 项。【解析】
5、:法一(导数法):根据等差数列前n项和的标准形式,可知该数列为等差数列,令,取得最小值,其中,可见当n=3时取得最小。法二(列举法):对于可用列举法,分别求出n=1、2时的的值,再进行比较发现。4、已知数列, 【解析】:法一(均值不等式):由累加法:,令法二(列举法):实在没招时使用该法。5、 已知等差数列的前n项和 。【解析】:6、数列通项公式的求法:类型1:等差数列型思路:把原递推式转化为,再使用累加法(逐差相加法)求解。例,已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为变式: 已知数列满足,求数列的通项公式。解: 两边除以,得,则,此时,故数列是以为首项,以为公差的等差数
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