陕西省汉中市西乡二中2025年高二下数学期末调研模拟试题含解析.doc

陕西省汉中市西乡二中2025年高二下数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个结论：
①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；
②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；
③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；
④在回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
3．某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（ ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．72种
4．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是(　　)

A． B． C． D．
5．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…
6．复数（ ）
A． B． C． D．
7．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．)
9．已知点，则它的极坐标是（ ）
A． B．
C． D．
10．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有
A．540种 B．240种 C．180种 D．150种
11．若，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
12．设，是实数，则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数满足条件则的取值范围为____________.
14．____．
15．已知中角满足且,则__________.
16．已知，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.

完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；

(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.
18．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
19．（12分）如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为分米的半圆和矩形组成，其中长为分米，如图（2）.为了美观，要求.已知该首饰盒的长为分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为百元.

（1）写出关于的函数解析式；
（2）当为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
20．（12分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
21．（12分）已知.
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并用数学归纳法证明.
22．（10分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的均值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据复数除法运算得到，根据复数模长定义可求得结果.
【详解】
，.
故选：.
本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
2、D
【解析】
根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④．
【详解】
根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；
当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；
根据线性相关系数特征，当相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；
根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.
综上，②④正确，故选D.
本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题．
3、B
【解析】
首先对甲、乙、丙、丁进行分组，减去甲、乙两人在同一个项目一种情况，然后进行3个地方的全排列即可得到答案.
【详解】
先将甲、乙、丙、丁分成三组（每组至少一人）人数分配是1,1,2共有种情况，又甲、乙两人不能到同一个项目，故只有5种分组情况，然后分配到三个不同地方，所以不同的安排方式有种，故答案选B.
本题主要考查排列组合的相关计算，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力，难度不大.
4、A
【解析】
分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.
【详解】
当时：
当时：
当时：
当时：
日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元
故
故答案选A
本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.
5、B
【解析】
从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
6、C
【解析】
分析：直接利用复数的除法运算得解.
详解：由题得，故答案为：C.
点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.
7、C
【解析】
分析：由直线与圆相切，得，从而，进而，由此能求出的取值范围.
详解：，直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
解得，
，
，
，
的取值范围是.
故选C.
点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.
8、B
【解析】
因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来. 做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.
【详解】
因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有

因为的取值范围是全体实数集，
所以或，
即的取值范围是，
故选B.
本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.
9、C
【解析】
由计算即可。
【详解】
在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.
故选C.
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
10、D
【解析】
分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．
详解：由题意不同方法数有．
故选D．
点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错．
11、D
【解析】
分析：先求，再求函数的单调增区间.
详解：由题得
令因为x>0，所以x>2.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.
12、C
【解析】
利用不等式的基本性质证明与可进行互推.
【详解】
对选项C进行证明，即是的充要条件，
必要性：若，则两边同时3次方式子仍成立，，
成立；
充分性：若成，两边开时开3次方根式子仍成立，，
成立.
在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值
详解：满足条件即，画出可行域：

根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值
，
所以的取值范围为
点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。
14、
【解析】
分别求得和的值，相加求得表达式的结果.
【详解】
由于表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，故..故原式.
本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.
15、
【解析】
分析：先化简得到，再化简得到.
详解：因为，所以1-,
所以，
因为,所以,所以A+B=.
，所以,
因为sinA>0,所以.
故答案为.
点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.
16、1
【解析】
，利用基本不等式求解即可．
【详解】
解：，
当且仅当，即时取等号。
故答案为：1．
本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
(2)分布列见解析.
【解析】
试题分析：
（1）依题意得，则有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
（2）由题意可得随机变量的所有可能取值为且，据此可得分布列，计算数学期望.
试题解析：
（1）依题意得

有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
（2）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2
依题意随机变量的所有可能取值为
，
则分布列：

所以
18、（I）

16
17
18
2
21
21
22

（II）2（III）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，2，21，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤2）=．由此能确定满足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=．求出买2个所需费用期望EX1和买21个所需费用期望EX2，由此能求出买2个更合适
试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，11，11的概率分别为1．2，1．4，1．2，1．2，从而
；
；
；
；
；
；
．
所以的分布列为

16
17
18
2
21
21
22

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为2．
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．
当时，
．
当时，
．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
考点：离散型随机变量及其分布列
19、（1）；（2）当分米时，该首饰盒制作费用最低.
【解析】
分析：该几何体下面是一个长方体，上面是半个圆柱，由体积求得，然后分别求出上半部分和下半部分的面积，从而可得关于的解析式，注意要由可求得的取值范围．
（2）利用导数可求得的最小值．
详解：（1）由题知，
∴.
又因，得，
∴

.
（2）令，
∴，
令则，
∵，
当时，函数为增函数.
∴时，最小.
答：当分米时，该首饰盒制作费用最低.
点睛：本题考查导数的实际应用．解题关键是求出费用关于的函数解析式，解题中要注意求出的取值范围．然后就可由导数的知识求得最小值．
20、 (1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
．
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且．
由，得，解得．
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是．
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.
21、（1），；（2）.
【解析】
分析：（1）令，则，，则，两式做差得到结果；（2）要比较与的大小，只要比较与的大小，接下来应用数学归纳法得到结果即可.
详解：
（1）令，则，
令，则，
所以．
（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．
猜想：．
下面用数学归纳法证明：
①当时，,结论成立．
②假设当时结论成立，即，
则当时，，
因为，所以，所以
所以，
即时结论也成立．
由①②可知，时，
所以.
点睛：本题考查了二项式展开式的系数和问题，以及数学归纳法的证明的应用，数学归纳法，注意假设n=k+1的证明过程中，一定要用到n=k的结论.
22、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．
【详解】
（1）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，
故，
即有，.
由此可得的分布列为

0
1
2
3
4
5

（2），.
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．