安徽省三人行名校联盟2025年高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

安徽省三人行名校联盟2025年高二数学第二学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为
A． B． C． D．
3．已知抛物线和直线，过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，若点关于直线对称，则( )
A．1 B．2 C．4 D．6
4．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
5．已知为定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（ ）

A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D．“向量的数乘”中“运算律”的下位
7．设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是(　　)
A．1 B． C． D．
9．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
10．设满足约束条件 ，则的最大值是（ ）
A．-3 B．2 C．4 D．6
11．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则异面直线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
12．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则的值是_____.
14．由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于______。
15．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ．
16．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）设的两个极值点为，证明.
18．（12分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；
（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?
19．（12分）（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.
（1）求a和b的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与数学期望.
X
0
3
6
P

a
b

20．（12分）已知函数.
求不等式的解集；
若，求实数的取值范围.
21．（12分）在中，角所对的边长分别为，且满足．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若的面积为，求的值．
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解
【详解】
由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：
“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A．
本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题。
2、B
【解析】
∵函数，
∴函数的最小值为
故选B
3、B
【解析】
由于直线与直线垂直，且直线的斜率为1，所以直线的斜率为，而直线过点，所以可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立成方程组，求出的中点坐标，然后将其坐标代入中可求出的值.
【详解】
解：由题意可得直线的方程为，设，
由，得，
所以，
所以的中点坐标为，
因为点关于直线对称，
所以，解得
故选：B
此题考查直线与抛物线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于基础题.
4、A
【解析】
由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A.
5、A
【解析】
先用基本不等式求时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.
【详解】
当时，（当且仅当时取等号），
又为奇函数，当x<0时，,
则的值域为.
故选：A.
本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.
6、A
【解析】
由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．
【详解】
因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，
故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
故选A．
本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．
7、C
【解析】
因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，
故选C
点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角的取值范围.
8、D
【解析】
由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D．
9、A
【解析】
由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.
【详解】
解：为奇函数，，
又
，，
又，且函数在区间上是增函数，
，
，
故选A.
本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.
10、D
【解析】
先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解.
【详解】
如图即为，满足约束条件的可行域，
由，解得，
由得，
由图易得：当经过可行域的时，直线的纵截距最大，z取得最大值，
所以的最大值为6，
故选．

本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
11、B
【解析】
底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以就是异面直线PB与AC所成的角.
【详解】
解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，

.
∴PBCM是平行四边形，
∴PB∥CM，
所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角.
设PA＝AB＝，在三角形ACM中，
∴三角形ACM是等边三角形.
所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°.
故选：B.
本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题.
12、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
当时，，求出；当时，无解.从而，由此能求出结果.
【详解】
解：由时，是减函数可知，
当，则，
所以，由得
，解得，
则.
故答案为：.
本题考查函数值的求法，属于基础题.
14、1
【解析】
根据定积分求面积
【详解】
.
本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.
15、
【解析】
试题分析：至少有一次正面向上的概率为，恰有一次出现反面向上的概率为，那么满足题意的概率为．
考点：古典概型与排列组合．
16、
【解析】
利用待定系数法求出分段函数的解析式，再由y值大于62求解即可得解.
【详解】
当x∈（0，12]时，设f（x）＝a（x﹣10）2+80，
过点（12，78）代入得，a
则f（x）（x﹣10）2+80，
当x∈(12，40]时，
设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得 ，即y＝﹣x+90，
由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
所以4＜x＜28，
则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，
故答案为（4，28）．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式及分段函数解不等式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.
【详解】
（1）由题意得：定义域为；
在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根
即：与在有两个不同的交点
设过的的切线与相切于点
则切线斜率，解得：
过的的切线的斜率为：
，解得：
即的取值范围为：
（2）令，则
时，；时，
在上单调递增；在上单调递减
，即：
即：
（3）由（1）知，是方程的两根
即：，
设，则
原不等式等价于：
即：
设，则，只需证：，
设，
在上单调递增
即在上恒成立
所证不等式成立
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为与两个极值点有关的函数的最值的求解问题，通过求解最值可确定不等关系.
18、（1）
（2）
【解析】
（1）由题意知，QS的轨迹为圆的一部分，PQ的轨迹为双曲线的一部分，ST的轨迹为双曲线的一部分，分别求出对应的轨迹方程即可；
（2）由题意设点M（x，y），计算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值与对应的x、y的值．
【详解】
解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，
QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，
即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；
②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，
PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，
即x＜0、y＞0时，双曲线方程为1；
③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，
ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，
即x＞0、y＜0时，双曲线方程为1；
综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；
x＜0、y＞0时，曲线方程为1；
x＞0、y＜0时，曲线方程为1；
[注]可合并为1；
（2）由题意设点M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；
则|MA|2y2x2+16＝232；
当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为4；
此时y＝42；
∴点M（﹣2，2）．
本题考查了圆、双曲线的定义与标准方程的应用问题，解题的关键是利用定义求出双曲线和圆的标准方程．
19、 (1) .
(2)分布列见解析，.
【解析】
分析：（1）根据分布列的性可知所有的概率之和为1然后再根据期望的公式得到第二个方程联立求解即可；（2）根据二项分布求解即可.
详解：(1)因为，所以，
即．①
又，得．②
联立①，②解得，．
(2)，依题意知，
故，，
，．
故的概率分布为

的数学期望为．
点睛：考查分布列的性质，二项分布，认真审题，仔细计算是解题关键，属于基础题.
20、 (1) (2)
【解析】
(1)可先将写成分段函数的形式，从而求得解集；
（2）等价于，令，故即可，从而求得答案.
【详解】
（1）根据题意可知：，当时，即，
解得；当时，即，解得；当时，即
，解得.综上，不等式的解集为；
（2）等价于，令，故
即可，①当时，，此时；②当
时，，此时；当时，，
此时；综上所述，，故，即实数的取值范
围是.
本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及分类讨论能力，难度中等.
21、（1）;（2）.
【解析】
分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB= sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=，即可得解C的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a2+b2﹣c2=ab，又a2﹣c2=2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值．
详解：
1由已知及正弦定理可得，，
，
，
2 由1可得，，
，
又，
，
由题意可知，，
，可得： 
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
22、（1）在和上为增函数，在上为减函数；（2）
【解析】
（1）将代入，求出，令，解不等式可得增区间，令，解不等式可得减区间.
（2）根据题意可得在上恒成立，分离参数可得，只需即可.
【详解】
（1）当时，，
，
令，可得或；令，.
所以在和上为增函数；
在上为减函数.
（2）由于在上为减函数，在上恒成立，
即，令，
可设，于是
所以，的取值范围是.
本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，解题的关键是求出导函数，属于中档题.