2025年乌鲁木齐市第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年乌鲁木齐市第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（ ）
A．-l B．l C．3 D．-3
2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
4．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
5．设函数，若实数分别是的零点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（ ）
A． B． C． D．
8．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )
A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8
9．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）．
A． B． C． D．
10．函数的单调递减区间为（ ）
A．或 B． C． D．
11．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝
12．已知，则中（ ）
A．至少有一个不小于1 B．至少有一个不大于1
C．都不大于1 D．都不小于1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的二项展开式中项的系数为________.
14．已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,
若是抛物线的切线，则直线的方程是___．
15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.
16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2015）=_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答）
（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？
（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？
18．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
19．（12分）（1）已知，都是正数，并且，求证：；
（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.
20．（12分）已知x，y，z是正实数，且满足.
(1)求的最小值；
(2)求证：
21．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.

(1)若，求证: ;
(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即为所求.
【详解】
因为圆关于直线：对称,
所以圆心在直线：上,即 ,解得.
所以直线,令 ,得.
故直线在轴上的截距为.
故选A.
本题考查了圆关于直线对称,属基础题.
2、C
【解析】
通过假设法来进行判断。
【详解】
假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选C。
本题考查了推理能力。解决此类问题的基本方法就是假设法。
3、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
4、A
【解析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】
解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A．
本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．
5、A
【解析】
由题意得，函数在各自的定义域上分别为增函数，
∵，
又实数分别是的零点
∴，
∴，
故．选A．
点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得的取值范围，其中借助0将与联系在一起是关键．
6、B
【解析】
,,故函数在区间上递增,,,故函数在上递减.所以,解得,故选B.
7、B
【解析】
由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，
，，，
，，故选：B.
本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、D
【解析】
分析：利用全集，由，列方程可求的值.
详解：由，且，
又集合，
实数的值为或，故选D.
点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
9、C
【解析】

∵抛物线方程为，
∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义可得，∴．
将代入得，
∴点的坐标为．
∴直线AB的方程为，即，
将代入直线AB的方程整理得，解得或（舍去），
∴，∴．
在中，，
∴,
∴．选C．
点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．
10、C
【解析】
先求出函数的导函数，令导函数小于零，解不等式即可得出单调递减区间。
【详解】
由题可得，令，即，解得或，又因为，故，
故选C
本题考查利用导函数求函数的单调区间，解题的关键是注意定义域，属于简单题。
11、A
【解析】
由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．
【详解】
对于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定义域为R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，当x＜0时，由y＝2x，y＝﹣2﹣x递增，可得在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递增，故A正确；
y＝f（x）＝x2+1满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B不满足条件；
y＝f（x）＝（）|x|满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故C不满足题意；
y为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递减，故D不满足题意．
故选：A．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．
12、B
【解析】
用反证法证明，假设同时大于，推出矛盾得出结果
【详解】
假设，，，
三式相乘得，
由，所以，同理，，则与矛盾，即假设不成立，所以不能同时大于，所以至少有一个不大于，
故选
本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、60
【解析】
先写出二项展开式的通项，，令，进而可求出结果.
【详解】
因为的二项展开式的通项为：，
令，则，
所以项的系数为.
故答案为：
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
14、或.
【解析】
分析：由题设，求导得到直线 然后分和两种情况讨论即可得到直线的方程.
详解：由题设，求导即，则直线
当时，验证符合题意，此时 ，故 ，
当时，， ，
或（重合，舍去）
此时，故
点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.
15、
【解析】
分析：根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.
详解：的展开式中各项系数之和为0,
令，则，
解得.
的展开式中通项公式为，
令时，展开式中含的项为.
故答案为：.
点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
16、0
【解析】
当x≥0，都有f（x+2）=﹣，
∴此时f（x+4）=f（x），
∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=﹣，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），
∴f（1）=log2（1+1）=1，
即f（2015）=﹣=﹣1，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣2013）=f（503×4+1）=f（1）=1，
∴f（﹣2013）+f（2015）=1﹣1=0，
故答案为0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）63种不同的去法（2）种
【解析】
（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可．
（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，第三类：6人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可．
【详解】
（1）由题意，从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中，邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，共有，故共有63种不同的去法．
（2）该问题共分为三类：
第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，
共有种；
第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有种；
第三类：6人平均分配到三项活动中，共有种，
所以每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为：种．
本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中正确理解题意，合理分类，正确使用排列、组合求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
18、（Ⅰ）（3，1）；（Ⅱ）3.
【解析】
（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（3）关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于3，通过分析即可得到m的最小值.
【详解】
（1）当m=时，．
由f′（x）＞3得1﹣x3＞3又x＞3，所以3＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（3，1）．
（3）令x+1．
所以=．
当m≤3时，因为x＞3，所以G′（x）＞3所以G（x）在（3，+∞）上是递增函数，
又因为G（1）=﹣,
所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．
当m＞3时，．
令G′（x）=3得x=，所以当时，G′（x）＞3；当时，G′（x）＜3．
因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．
故函数G（x）的最大值为．
令h（m）=，因为h（1）=，h（3）=．
又因为h（m）在m∈（3，+∞）上是减函数，所以当m≥3时，h（m）＜3．
所以整数m的最小值为3．
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
19、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明
（2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立。
【详解】
（1）

因为，都是正数，所以，
又，所以，所以，
所以，即.
（2）假设和都不成立，即和同时成立.
且，，.
两式相加得，即.
此与已知条件相矛盾，和中至少有一个成立.
本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证。
20、（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；
(2)由柯西不等式即可得证.
详解：
(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，
∴＋＋＝ (x＋2y＋3z)
＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，
当且仅当＝且＝且＝时取等号．
(2)由柯西不等式可得
1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥，
当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．
故x2＋y2＋z2≥
点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.
21、 (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）取中点，连接，，易知要证，先证平面；
（2）如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可得到结果.
【详解】
(1)证明:取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，又因为平面平面，
所以平面，又因为平面，
所以
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，
所以.
(2)设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
由 (1)可知，，所以，
故，，，，，
对平面，，，
所以其法向量为.
又，
所以直线与平面成角的正弦值.

本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
22、（1）2;（2）
【解析】
（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；
（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.
【详解】
解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为1．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V＝S△ABC×AA1

2．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为1，M是BC中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM，
∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，
tan∠A1MA，
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．

本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．