2024-2025学年陕西省汉中中学数学高一下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2024-2025学年陕西省汉中中学数学高一下期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　 　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．已知，是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
4．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．某小组由名男生、名女生组成，现从中选出名分别担任正、副组长，则正、副组长均由男生担任的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（ ）

A． B． C． D．
7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． B． C． D．
8．已知数列中，,则（ ）
A． B． C． D．
9．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．
12．_____________.
13．计算：________
14．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.
16．已知，则的取值范围是_______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若，其为锐角，求的值
18．已知等差数列满足，且.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和的最大值.
19．某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；
（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.
（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；
（ii）该校在某地区就业的本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.
方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
参考数据：.
20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）平面BEF；
（2）平面平面PCD．
21．已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．
【详解】
∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，
∴,
∴，
∴或，∴或，
故选：D.
本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．
2、B
【解析】
根据条件可得，，，然后进行数量积的运算即可.
【详解】
根据条件，，，

，
当时，取最小值.
故选：B
本题考查了向量数量积的运算，同时考查了二次函数的最值，属于基础题.
3、C
【解析】
由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.
【详解】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，
是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；
本题选择C选项.
“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
4、C
【解析】
分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
同时掷两个骰子，共有种结果
其中点数之和是的共有：，共种结果
点数之和是的概率为：
本题正确选项：
本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.
5、B
【解析】
根据古典概型的概率计算公式，先求出基本事件总数，正、副组长均由男生担任包含的基本事件总数，由此能求出正、副组长均由男生担任的概率．
【详解】
某小组由2名男生、2名女生组成，现从中选出2名分别担任正、副组长，
基本事件总数，正、副组长均由男生担任包含的基本事件总数，
正、副组长均由男生担任的概率为．故选．
本题主要考查古典概型的概率求法。
6、D
【解析】
容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.
【详解】
根据图形看出，四边形是平行四边形

故选：
本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.
7、A
【解析】
每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
8、B
【解析】
由数列的递推关系，可得数列的周期性，再求解即可.
【详解】
解:因为,①则,②
①+②有: ,即,则,
即数列的周期为6,
又,得，,
则,
故选:D.
本题考查了数列的递推关系，重点考查了数列周期性的应用，属基础题.
9、A
【解析】
时，恒成立.
时，原不等式等价于.
由的最小值是2，可得，即. 选A.
10、A
【解析】
由余弦定理可直接求出边的长.
【详解】
由余弦定理可得，，所以.
故选A.
本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。
【详解】
设，则

∴为偶函数，其图象关于轴对称，
又依题意只有一个零点，故此零点只能是，
所以，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：
本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。
12、
【解析】
,故填.
13、
【解析】
用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.
【详解】
.
本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.
14、
【解析】
假设正方体棱长，根据//，得到异面直线与所成角，计算，可得结果.
【详解】
假设正方体棱长为1，因为//，所以
异面直线与所成角即与所成角
则角为
如图

，
所以

故答案为：
本题考查异面直线所成的角，属基础题.
15、
【解析】
设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，
故答案为．
16、
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．
【详解】
设向量与向量的夹角为，
因为，所以，
即，
因为，所以，即，
所以的取值范围是．
本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
利用同角公式求出两个角的余弦值，再根据两角和的余弦公式可得答案.
【详解】
因为为锐角，且，
所以，，
所以
.
本题考查了同角公式，考查了两角和的余弦公式，属于基础题.
18、（1）（2）144
【解析】
（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。
（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。
【详解】
（1）设公差为，则

则
则
（2）由等差数列求和公式得
则
所以当时，有最大值144
本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题
19、（1）；（2）（i）2，；（ii）方案一.
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出前2组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把6人编号，可写出任取2人的所有组合，也可得出获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的所有组合，从而可计算出概率．
（2）根据频率分布直方图计算出均值和方差，然后求出区间，结合频率分布直方图可计算出两方案收取的费用．
【详解】
（1）第一组有人，第二组有人.
按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为，第二组抽5人，记为，，，，.
从这6人中抽2人共有15种：，，，，，，， ，，，，，，，.
获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：，， ，，，，，，，.
于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率.
（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差分别是
；
（ii）方案一：

月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；、
因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.
方案二：这50人共收活动费用约为（万元）.
故方案一能收到更多的费用.
本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型．属于基础题．这类问题在计算均值、方差时可用各组数据区间的中点处的值作为这组数据的估计值参与计算．
20、（2）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）连接，交于，结合平行四边形的性质可得，再由线面平行的判定定理，即可得证（2）运用面面垂直的性质定理可得平面，推得，，，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证．
【详解】
证明：（1）连接，交于，

可得四边形为平行四边形，
且为的中点，可得为的中位线，可得，
平面，面，可得面；
（2）平面底面，，可得平面，
即有，，可得，
由，，可得四边形为矩形，即有，
又，，可得，且
所以有平面，
而平面，则平面平面．
本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题．
21、（1）y=2x+1；（2）a=-2或
【解析】
（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．
【详解】
（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，
可得直线l的斜率为=2，
则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1；
（2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切，
可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有
=，
解得a=2或．
本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．