2025年海南华侨中学数学高一下期末监测试题含解析.doc

2025年海南华侨中学数学高一下期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．向量，，若，则（ ）
A．5 B． C． D．
4．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）

A． B． C． D．
5．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
6．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A． B． C． D．
7．若正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象可能是( )
A． B．
C． D．
9．已知函数在区间上恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在区间上随机选取一个数，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等比数列中，，，则______.
12．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．
13．已知向量，，则的最大值为_______.
14．计算：______.
15．将二进制数110转化为十进制数的结果是_____________.
16．函数的值域为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在正中，，.

（1）试用，表示；
（2）若，，求.
18．某城市理论预测2020年到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请在右面的坐标系中画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）据此估计2025年该城市人口总数.
（参考公式：，）
19．已知
（1）求函数的单调递减区间：
（2）已知，求的值域
20．使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润(万元)与每天使用支付宝和微信支付的人数(千人)具有线性相关关系，并得到最近一周的7组数据如下表，并依此作为决策依据.

(1)作出散点图，并求出回归方程(，精确到)；

(2)超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总奖金7万元.根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加7千人，试决策超市是否有必要开
展抽奖活动？
(3)超市管理层决定:从周一到周日，若第二天的净利润比前一天增长超过两成，则对全体员工进行奖励，在(Ⅱ)的决策下，求全体员工连续两天获得奖励的概率.
参考数据: ，，，.
参考公式：，，.
21．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值;
（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】
设球心为，的中心为，则，
，球的半径，
所以球的表面积为.
故选：C
本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.
2、D
【解析】
由方程恰有三个不同的解，作出的图象，确定，的取值范围，得到的对称性，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
设 作出函数的图象如图：

由 
则当  时 , , 即函数的一条对称轴为 ，
要使方程恰有三个不同的解，
则 , 此时 , 关于  对称，
则 
当 ，
即  ，
则 

则 的取值范围是，选D.
本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法．
3、A
【解析】
由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．
【详解】
由得，解得．
∴，，．
故选：A．
本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．
4、D
【解析】
在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.
【详解】
在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
故选：D
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.
5、C
【解析】
试题分析：利用直线的斜率公式求解．
解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，
∴k==1，
解得m=1．
故选C．
考点：直线的斜率．
6、A
【解析】
先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角．
【详解】
在直角坐标系中，直线的斜率为，等于倾斜角的正切值，
故直线的倾斜角是，故选．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的求法．
7、A
【解析】
利用，化简，即可得到，
令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。
【详解】
当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，
由 ，可得①，所以②
②—①可得，化简可得
由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，
令，所以，
令
所以原式

故答案选A
本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。
8、D
【解析】
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．
【详解】
函数是奇函数，排除选项A，C；
当时，，对应点在x轴下方，排除B；
故选：D．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
9、D
【解析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.
【详解】
函数,
由因为，所以，
即，
当时，函数的最大值为，
由于在区间上恒成立，
故，实数的最小值是.
故选：D
本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题
10、D
【解析】
在区间上，且满足所得区间为，利用区间的长度比，即可求解．
【详解】
由题意，在区间上，且满足所得区间为，
由长度比的几何概型，可得概率为，故选D．
本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用长度比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】
先计算，代入式子化简得到答案.
【详解】

故答案为4
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
12、
【解析】
设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.
【详解】
设，由动点满足（其中和是正常数，且），
所以，
化简得，
即，
所以该圆半径
故该圆的半径为.
本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.
13、.
【解析】
计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.
【详解】
，，，
所以，，
当且仅当，即当，等号成立，
因此，的最大值为，故答案为.
本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、
【解析】
直接利用反三角函数运算法则写出结果即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
本题考查反三角函数的运算法则的应用，属于基础题．
15、6
【解析】
将二进制数从右开始,第一位数字乘以2的0次幂,第二位数字乘以2的1次幂,以此类推,进行计算即可.
【详解】
,
故答案为:6.
本题考查进位制,解题关键是了解不同进制数之间的换算法则,属于基础题.
16、
【解析】
由反三角函数的性质得到，即可求得函数的值域.
【详解】
由，则，
，
又，
，即，
函数的值域为.
故答案：.
本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）-2
【解析】
（1）由，可得，整理可求出答案；
（2）用、分别表示和，进而求出即可.
【详解】
（1）因为，则，所以.
（2）当时，，因为，所以为边的三等分点，则，
故.
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.
18、（1）见解析；（2）；（3）2025年该城市人口总数为196万人
【解析】
（1）由表中数据描点即可；
（2）由最小二乘法的公式得出的值，即可得出该线性方程；
（3）将代入（2）中的线性方程，即可得出2025年该城市人口总数.
【详解】
（1）画出散点图如图所示.

（2），，，
，
，，
则线性回归方程.
（3）时，（十万）（万）.
答：估计2025年该城市人口总数为196万人
本题主要考查了绘制散点图，求回归直线方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题.
19、（1）();（2）
【解析】
（1）将三角函数化简为，再求函数的单调减区间.
（2）根据得到，得到最后得到答案.
【详解】
（1），
令解得：
可得函数的单调递减区间为：();
（2）

的值域为
本题考查了三角函数的单调区间和值域，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
20、（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
(1)通过表格描点即可，先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程；
（2）先计算活动开展后使用支付宝和微信支付的人数为(千人)，代入（1）问得到结果；
（3）先判断周一到周日全体员工只有周二、周三、周四、周日获得奖励，从而确定基本事件，再找出连续两天获得奖励的基本事件，故可计算出全体员工连续两天获得奖励的概率.
【详解】
(1)散点图如图所示

，

关于的回归方程为
(2)活动开展后使用支付宝和微信支付的人数为(千人)
由(1)得，当时，
此时超市的净利润约为，故超市有必要开展抽奖活动
(3)由于，，，，，，
故从周一到周日全体员工只有周二、周三、周四、周日获得奖励
从周一到周日中连续两天，基本事件为(周一、周二)，(周二、周三)，(周三、周四)，(周四、周五)，(周五、周六)，(周六、周日)，共6个基本事件
连续两天获得奖励的基本事件为(周二、周三)，(周三、周四)，共2个基本事件
故全体员工连续两天获得奖励的概率为
本题主要考查线性回归方程，古典概率的计算，意在考查学生的阅读理解能力和分析能力，难度不大.
21、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;
（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;
（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.
【详解】
（1）由直方图可得:

（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.
直方图可得:
可得:

辆纯电动汽车续驶里程的中位数.
（3） 续驶里程在的车辆数为:
续驶里程在第五组的车辆数为.
从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，
其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，
其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.
本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.