山西省大同市第一中学2025年数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

山西省大同市第一中学2025年数学高一第二学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．等比数列中，，，则公比等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．记复数的虚部为，已知满足，则为（　　）
A． B． C．2 D．
3．若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)
A． B．
C． D．
7．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．设函数，则是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
9．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
10．若数列的前项和为，则下列命题：
（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；
（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；
（3）若是等差数列，则的充要条件是；
（4）若是等比数列且，则的充要条件是；
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.
12．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
13．函数在的递减区间是__________
14．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；
②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）的图象关于点对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是 ．
15．已知函数的部分图象如图所示，则的单调增区间是______．

16．的值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
（１）甲被选中的概率；
（２）丁没被选中的概率.
18．已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作轨迹的切线，求该切线的方程.
19．若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.
（1）求数列的公比.
（2）若，求的通项公式.
20．已知一个几何体是由一个直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的．若该三角形的周长为12米，三边长由小到大依次为a，b，c，且b恰好为a，c的算术平均数．
（1）求a，b，c；
（2）若在该几何体的表面涂上一层油漆，且每平方米油漆的造价为5元，求所涂的油漆的价格．
21．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由题意利用等比数列的通项公式，求出公比的值．
【详解】
解：等比数列中，，，，则公比，
故选：．
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
2、A
【解析】
根据复数除法运算求得，从而可得虚部.
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.
3、B
【解析】
根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，因为，
则
当且仅当且即时取得最小值.
故选B．
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4、B
【解析】
根据题意，得到数列为等差数列，通过首项和公差，得到通项.
【详解】
因为数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
.
故选：B.
本题考查求等差数列的通项，属于简单题.
5、C
【解析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】
当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
6、C
【解析】
关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.
7、D
【解析】
根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:

因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小

故选:D
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
8、D
【解析】
函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．
9、D
【解析】
先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题
10、B
【解析】
对各选项逐个论证或给出反例后可得正确的命题的个数.
【详解】
对于（1），取，则，
因该数列的公差为，故是递增数列.
，故，所以数列不是递增数列，
故（1）错.
对于（2），取，则，数列是递增数列，但，故数列是递增数列推不出的各项均为正数，故（2）错.
对于（3），取，则，，
故当时，但总成立，
故总成立，
故推不出，故（3）错.
对于（4），设公比为，
若，
若，则，，矛盾，故.
又，故必存在，使得即，
即，所以，故，
所以是的必要条件.
若，则，所以，
所以，
所以是的充分条件
故的充要条件是，故（4）正确.
故选：B.
本题考查数列的单调性、数列的前项和的单调性以及等比数列前项和的积的性质，对于等差数列的单调性，我们可以求出前项和关于的二次函数的形式，再由二次函数的性质讨论其单调性，也可以根据项的符号来判断前项和的单调性.应用等比数列的求和公式时，注意对公比是否为1分类讨论.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、45
【解析】
直接利用对数的运算性质计算即可,
【详解】
.
故答案为：45.
本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.
12、
【解析】
取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．
【详解】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．
13、
【解析】
利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．
【详解】
，
由得，，
时，．即所求减区间为．
故答案为．
本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．
14、①③
【解析】
∵f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；
∵T=，故②不正确；
令x=﹣代入f （x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，
故y=f （x）的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为①③．
15、 （区间端点开闭均可）
【解析】
由已知函数图象求得，进一步得到，再由五点作图的第二点求得，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出的单调增区间．
【详解】
由图可知，，则，．
又，．则．
由，，解得，．
的单调增区间是．
本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法．
16、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值.
【详解】
依题意，由于，所以
故答案为：
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
【详解】
（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为 .
（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，
所以丁没被选中的概率为.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18、（1），（2）或
【解析】
（1）首先根据题意列出等式，再化简即可得到轨迹方程.
（2）首先根据题意设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径即可求出切线方程.
【详解】
（1）设，有题知，
，
所以点的轨迹的方程：.
（2）当切线斜率不存在时，切线为
圆心到的距离，舍去.
当切线斜率存在时，设切线方程为.
圆心到切线的距离，
解得：或.
即切线方程为：或.
本题第一问考查了圆的轨迹方程，第二问考查了直线与圆的位置关系中的切线问题，属于中档题.
19、（1）公比为4；（2）
【解析】
（1）设，然后根据相关条件去计算公比；（2）由（1）的结论计算的表达式，然后再计算的通项公式.
【详解】
（1）设.∴，
∴，.
∴，即的公比为4
（2）∵，∴，即，
当时，，当时，符合，
∴
（1）已知等差数列的三项成等比数列，可利用首项和公差将等式列出，找到首项和公差的关系；
（2）利用计算通项公式时，要注意验证的情况.
20、（1）3，4，1；（2）元．
【解析】
（1）由题意，根据周长、三边关系、勾股定理，a，b，c，建立方程组，解得即可.
（2）根据题意，旋转得到的几何体为由底面半径为米，母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体，计算几何体的表面积再乘单价即可求解.
【详解】
（1）由题意得，，
所以，
又，且，
二者联立解得，，
所以a，b，c的值分别为3，4，1．
（2）绕其斜边旋转一周得到的几何体为由底面半径为米，
母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体，
故其表面积为平方米．
因为每平方米油漆的造价为1元，
所以所涂的油漆的价格为元．
所涂的油漆的价格为：元．
本题考查三角形三边关系及旋转体表面积的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于基础题.
21、证明见解析
【解析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】
证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.