大学高等数学知识点-(1).pdf
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1、1大学高等数学知识点整理大学高等数学知识点整理公式,用法合集公式,用法合集极限与连续极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*;*()naf n1()nnaf a (2)初等函数:(3)分段函数:*;*;*0102()(),()xxf xF xxxfx00()(),xxf xF xxxa (4)复合(含)函数:f(),()yf uux (5)隐式(方程):(,)0F x y (6)参式(数一,二):()()xx tyy t (7)变限积分函数:()(,)xaF xf x t dt (8)级数和函数(数一,三):0(),nnnS xa xx 2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);
2、(单调定号)()f x000,()()()xxxf xf x (2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yf xxfyyfx二.极限性质:1.类型:*;*(含);*(含)limnnalim()xf xx 0lim()xxf x0 xx 2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,1,0,0,0 4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,11nn 1(0)1naa 1()max(,)nnnnabca b c00!naan2 ,1(0)xx 0lim1xxxlim0nxxxelnlim0nxxx ,0limln0nxxx0,xxex 四.必备公式:1
3、.等价无穷小:当时,()0u x ;sin()()u xu x:tan()()u xu x:211 cos()()2u xux:;()1()u xeu x:ln(1()()u xu x:(1()1()u xu x:;arcsin()()u xu x:arctan()()u xu x:2.泰勒公式:(1);2211()2!xexxo x (2);221ln(1)()2xxxo x (3);341sin()3!xxxo x (4);24511cos1()2!4!xxxo x (5).22(1)(1)1()2!xxxo x 五.常规方法:前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)0,1
4、,0M00,0,0,1tx 1.抓大弃小,()2.无穷小与有界量乘积()(注:)M1sin1,xx 3.处理(其它如:)1000,4.左右极限(包括):x (1);(2);(3)分段函数:,1(0)xx()xex 1(0)xex x xmax()f x 5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)001lnlim1xxxx0lnlim1xxxx3 (2)幂指型处理:(如:)()()ln()()v xv xu xu xe1111111(1)xxxxxeeee (3)含变限积分;(4)不能用与不便用 7.泰勒公式(皮亚诺
5、余项):处理和式中的无穷小 8.极限函数:(分段函数)()lim(,)nf xF x n六.非常手段 1.收敛准则:(1)()lim()nxaf nf x (2)双边夹:*,*?nnnbac,?nnb ca (3)单边挤:*1()nnaf a21?aa?naM()0?fx 2.导数定义(洛必达?):00lim()xffxxVVV 3.积分和:,10112lim()()()()nnffff x dxnnnnL 4.中值定理:lim()()lim()xxf xaf xaf 5.级数和(数一三):(1)收敛,(如)(2),1nnalim0nna2!limnnnnn121lim()nnnnaaaaL
6、(3)与同敛散na11()nnnaa七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nf xkxx:(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffaL()()!nnnaaf xxxxnn:(2)00()xxnf t dtkt dt:2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim()xxf xabf xaxx()f xaxb:(2),()()f xaxb10 x 3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)()fx八.上连续函数性质,a b4 1.连通性:(注:,“平均”值:)(,),fa bm M01 0()(1)()()f af bf
7、x 2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:(根的个数);()()0f a f b 0()0f x (2).()0()0 xaf xf x dx 第二讲第二讲:导数及应用导数及应用(一元一元)(含中值定理含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:;()fx 0()()limxf xxf xxVVV0()fx000()()limxxf xf xxx (1)(注:连续)0()(0)(0)limxf xffx0()lim(xf xA fx(0)0,(0)ffA (2)左右导:;00(),()fxfx (3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)0 x xx x 2.微分与导数:()()()
8、()()ff xxf xfxxoxdffx dxVVVV (1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);,f df0二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:)()f x 2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)()fa()x afx0()()limhf xhf xhh (注:,求:及的连续性)00()(),xxF xf xxxa0(),()fxfx()fx 2.初等导(公式加法则):(1),求:(图形题);()uf g x0()u x (2),求:(注:)()()xaF xf t dt
9、()F x(,),(,),()xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt (3),求及 (待定系数)0102(),()xxf xyxxfx00(),()fxfx0()fx5 3.隐式()导:(,)0f x y 22,dy d ydxdx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):,求:()()xx tyy t22,dy d ydxdx 5.高阶导公式:()()nfx ;()()axnnaxea e()11!()()nnnb nabxabx ;()(sin)sin()2nnaxaaxn()(cos)cos()2nnaxaaxn
10、()()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uvL 注:与泰勒展式:()(0)nf2012()nnf xaa xa xa xLL()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:上点和过点的切线)()yf x0M0M 2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)23()(1()fxfx 4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点):0()0fx (1);()0()fxf xZ()0()fxf x (2)分段函数的单调性 (3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).()0fx
11、()0fx 2.极值点:(1)表格(变号);(由的特点)()fx0002()()()lim0,lim0,lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx (2)二阶导()0()0fx 注(1)与的匹配(图形中包含的信息);f,fff6 (2)实例:由确定点“”的特点.()()()()fxx f xg x0 xx (3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()()0f x (1)区别:*单变量与双变量?*与?,xa b,),(,)xax (2)类型:*;*0,()0ff a0,()0ff b *;*0,(),()0ff af b00()0,()0,()0fxfxf x
12、(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)max()()f xMfxM 4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;()y 0()0fx 2.应用:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.f七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()()()0F bF aFf 2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaF xf t dt (2)()()()()0()()()fgfgF xf x g x (3)()()()()()0()()f xfgfgF xg x (4);()()()0ff()()()x dxF xef x 3.有个零点有个零点()()0()n
13、ff x1n(1)()nfx2 4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待定)()()nfa()()()nF xf xP x1n()nP x 5.注:含时,分家!(柯西定理)12,6.附(达布定理):在可导,使:()f x,a b(),()cfafb ,a b()fc八.拉格朗日中值定理 1.结论:;()()()()()f bf afba()(),()0ab 7 2.估计:()ffxVV九.泰勒公式(连接之间的桥梁),f ff 1.结论:;2300000011()()()()()()()()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx 2.应用:在已知或值时进行积分估计()f a()f b十.积分
14、中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲第三讲:一元积分学一元积分学一.基本概念:1.原函数:()F x (1);(2);(3)()()F xf x()()f x dxdF x()()f x dxF xc 注(1)(连续不一定可导);()()xaF xf t dt (2)(连续)()()()()xxaaxt f t dtf t dtf x()f x 2.不定积分性质:(1);()()f x dxf x()()df x dxf x dx (2);()()fx dxf xc()()df xf xc二.不定积分常规方法 1.熟悉基本积分公式 2.基本方法:拆(线性性)1212
15、()()()()k f xk g x dxkf x dxkg x dx 3.凑微法(基础):要求巧,简,活()221sincosxx 如:211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx 221,(1 ln)(ln)1xdxdxx dxd xxx 4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,1xxtaxbttetx (2)作用与引伸(化简):21xxt 8 5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如);ln,arctan,()xaxxf t dt (2)“反对幂三指”:,ln,naxnx e dxxxdx (3)特别:(*已知的原函数为;*已知
16、)()xf x dx()f x()F x()()fxF x 6.特例:(1);(2)快速法;(3)11sincossincosaxbxdxaxbx(),()sinkxp x e dxp xaxdx()()nv xdxux三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*;*220(0)8aaxx dx aa()02baabxdx (3)附:,)()()baf x dxM ba()()()bbaaf x g x dxMg x dx (4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重 2:变限积分的处理(重点)()()x
17、axf t dt (1)可积连续,连续可导f f (2);()xaf t dt()f x()()()xxaaxt f t dtf t dt()()()xaf x dtxa f x (3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题()()xaF xf t dt 3.公式:(在上必须连续!)NL()()()baf x dxF bF a()F x,a b 注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含的方程.()baf t dt 4.变量代换:()()()baf x dxf u t u t dt (1),00()()()aaf x dxf ax dx xat (
18、2)(如:)0()()()()()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx 4411 sindxx (3),2201sinnnnnIxdxIn9 (4);,2200(sin)(cos)fx dxfx dx200(sin)2(sin)fx dxfx dx (5),00(sin)(sin)2xfx dxfx dx 5.分部积分 (1)准备时“凑常数”(2)已知或时,求()fx()xaf x()baf x dx 6.附:三角函数系的正交性:222000sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx 2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm 22220
19、0sincosnxdxnxdx四.反常积分:1.类型:(1)(连续)(),(),()aaf x dxf x dxf x dx()f x (2):(在处为无穷间断)()baf x dx()f x,()xaxb xc acb 2.敛散;3.计算:积分法公式极限(可换元与分部)NL 4.特例:(1);(2)11pdxx101pdxx五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,(1)(2);()();baSf xg x dx1()dcSfy dy (3);(4)侧面积:21()2Srd22()1()baSf xfx dx 2.体积:(1);(2)22()()bxaVfxgx dx12()2()dbycaVf
20、ydyxf x dx (3)与0 x xV0y yV 3.弧长:22()()dsdxdy (1)(),yf xxa b21()basfx dx (2)12(),()xx ttt tyy t2122()()ttsxtyt dt10 (3):(),rr 22()()srrd 4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1);1,()baf a bf x dxba (2),(以为周期:)0()0)limxxf t dtfx fT0()Tf t dtfT 第四讲第四讲:微分方程微分方程一.基本概念 1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令
21、(如欧拉方程)()xx tyDy (2)令(如伯努利方程)(,)(,)uu x yyy x uy 3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1);(2);(3)(,)yf x y(,)(,)0M x y dxN x y dy()y ab 2.变量分离型:()()yf x g y (1)解法:()()()()dyf x dxG yF xCg y (2)“偏”微分方程:;(,)zf x yx 3.一阶线性(重点):()()yp x yq x (1)解法(积分因子法):00()01()()()()xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x (2)变化:;()()xp y
22、xq y (3)推广:伯努利(数一)()()yp x yq x y 4.齐次方程:()yyx (1)解法:(),()ydudxuuxuuxuux 11 (2)特例:111222a xb ycdydxa xb yc 5.全微分方程(数一):且(,)(,)0M x y dxN x y dyNMxy dUMdxNdyUC 6.一阶差分方程(数三):1*0()()xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b三.二阶降阶方程 1.:()yf x12()yF xc xc 2.:令(,)yf x y()(,)dpyp xyf x pdx 3.:令(,)yf y y()(,)dpyp yypf y
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