2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学九上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )

A． B． C． D．
2．把抛物线向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则tan∠AOB（　　）

A． B． C．1 D．
4．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( )

A． B． C． D．
5．从数据，﹣6，1.2，π，中任取一数，则该数为无理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
7．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）
A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个
8．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（　　）

A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
9．下列各式属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）

A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2 ＝S3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为________．
12．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，则顶点M2020的坐标为_____．

13．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM＝2，则线段ON的长为_____．

14．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
15．用一张半径为14cm的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸片的面积是________ cm1．

16．抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是______.
17．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
18．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外其它都相同，任意摸出一个球，摸到黑球的概率是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．

20．（6分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．

21．（6分）如图，某中学有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路（阴影部分），余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）请分别写出每条道路的面积（用含或的代数式表示）；
（2）若，并且四块草坪的面积之和为144平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？

22．（8分）期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如表信息：

A
B
C
D
E
平均分
中位数
数学
71
72
69
68
70

英语
88
82
94
85
76

（1）完成表格中的数据；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
23．（8分）如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）连结AB、AC，求△ABC面积．

24．（8分）如图，，，求的值．

25．（10分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少．
26．（10分）如图示，在平面直角坐标系中，二次函数（）交轴于，，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）点是第二象限内的点抛物线上一动点
①求面积最大值并写出此时点的坐标；
②若，求此时点坐标；
（3）连接，点是线段上的动点.连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点.当动点从点运动到点，则动点所经过的路径长等于______（直接写出答案）
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选A．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2、A
【解析】试题解析：抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标为（1，1），所以所得的抛物线的解析式为y=（x-1）2+1．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换
3、C
【分析】连接AB，分别利用勾股定理求出△AOB的各边边长，再利用勾股定理逆定理求得△ABO是直角三角形，再求tan∠AOB的值即可．
【详解】
解：连接AB
如图，利用勾股定理得，，
∵，,
∴
∴利用勾股定理逆定理得，△AOB是直角三角形
∴tan∠AOB==
故选C
本题考查了在正方形网格中，勾股定理及勾股定理逆定理的应用.
4、C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==1．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=1，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AE=2AM=．
故选：C．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、B
【分析】从题中可以知道，共有5个数，只需求出5个数中为无理数的个数就可以得到答案．
【详解】从，-6，1.2，π，中可以知道
π和为无理数．其余都为有理数．
故从数据，-6，1.2，π，中任取一数，则该数为无理数的概率为，
故选：B．
此题考查概率的计算方法，无理数的识别．解题关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
6、D
【分析】根据解析式即可依次判断正确与否.
【详解】∵a=-2
∴开口向下，A选项错误；
∵，
∴对称轴为直线x=-1，故B错误；
∵，
∴顶点坐标为（-1，-4），故C错误；
∵对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，故D正确.
故选：D.
此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键.
7、C
【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．
【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（个）．
本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．
8、D
【解析】A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D、画树状图如下：

由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选D．
9、B
【解析】根据最简二次根式的定义进行判断即可.
【详解】解A、 ，不是最简二次根式；
B、2不能再开方，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、＝2 ，不是最简二次根式．
故选：B．
本题考查了最简二次根式，掌握二次根式的性质及最简二次根式的定义是解答本题的关键.
10、D
【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1
【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．
【详解】由题意得，，
整理得，，
解得：，
∵二次函数有最大值，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．
12、（4039，4039）
【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点An的坐标为（n，n2），设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=（x-a）2+a，由点An的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点Mn的坐标即可得出结论．
【详解】∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…，
∴点An的坐标为（n，n2）．
设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，
∵点An（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，
∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），
∴Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴M2020的坐标为（4039，4039）．
故答案为：（4039，4039）．
本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点An的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键．
13、1．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH，CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似三角形的性质可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝AM＝×2＝，
∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥BC
∴BM＝MH＝，
∴AB＝2+，
∴AC＝AB＝2+2，
∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴＝，即＝，
∴ON＝1．
故答案为：1．
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
14、22
【分析】
【详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-2,mn=-11,
∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.
故答案是：22
15、110∏C㎡
【解析】试题分析：∵圆锥的底面周长为10π，
∴扇形纸片的面积=×10π×14=140πcm1．
故答案为140π．
考点：圆锥的计算．
16、（2，3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故答案为（2，3）
考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
17、1
【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=1．
18、
【解析】袋子中一共有3个球，其中有2个黑球，根据概率公式直接进行计算即可.
【详解】袋子中一共有3个球，其中有2个黑球，
所以任意摸出一个球，摸到黑球的概率是，
故答案为：.
本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．

（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
20、（1）y＝﹣x2+4x；（2）P（2,2）；（3）S△MOC最大值为．
【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；
（2）点A关于C2对称轴的对称点是点O（0，0），连接OC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+x，即可求解．
【详解】（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），
∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，
则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：
0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，
故点C（3，3），
连接OC交函数C2的对称轴与点P，

此时PA+PC的值最小为：线OC的长度;
设OC所在直线方程为：
将点O（0，0），C（3，3）带入方程，解得k=1，
所以OC所在直线方程为：
点P在函数C2的对称轴上，令x=2,带入直线方程得y=2,
点P坐标为（2，2）
（3）由（2）知OC所在直线的表达式为：y＝x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，

设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则MH=﹣x2+4x﹣x
则S△MOC=S△MOH+S△MCH
=MH×xC = （﹣x2+4x﹣x）=
∵△MOC的面积是一个关于x的二次函数，且开口向下
其顶点就是它的最大值。其对称轴为x==，此时y=
S△MOC最大值为．
本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
21、（1）这两条道路的面积分别是平方米和平方米；（2）原来矩形的长为20米，宽为10米．
【分析】（1）由题意矩形场地的长为米，宽为米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；
（2）根据题意四块草坪的面积之和为144平方米这一等量关系建立方程进行分析计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知这两条道路的面积分别是平方米和平方米.
（2），
∴，
根据题意得：
解得：，（舍去），
∴（米）
答：原来矩形的长为20米，宽为10米.
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键.
22、（1）70，70，85，85；（2）数学．
【分析】（1）由平均数、中位数的定义进行计算即可；
（2）代入公式：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差计算，再比较即可．
【详解】（1）数学平均分是：×（71+72+69+68+70）＝70分，
中位数为：70分；
英语平均分是：×（88+82+94+85+76）＝85分，
中位数为：85分；
故答案为：70，70，85，85；
（2）数学成绩的方差为： [（71﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（68﹣70）2+（70﹣70）2]＝2；
英语成绩的方差为： [（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]＝36；
A同学数学标准分为：＝，
A同学英语标准分为：＝，
因为，
所以A同学在本次考试中，数学学科考得更好．
本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键．
23、（1）；（2）.
【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.
（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积.
【详解】（1）设该二次函数的解析式为
∵顶点为（2，）
∴
又∵图象经过A（0，3）
∴ 即
∴该抛物线的解析式为
（2）当时，，解得，
∴C（3，0） B（1，0）
得
∴.
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键.
24、
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
此题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2种中，
概率是．

本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
26、（1）；（2）①，点坐标为；②；（3）
【分析】（1）根据点坐标代入解析式即可得解；
（2）①由A、E两点坐标得出直线AE解析式，设点坐标为，过点作轴交于点，则坐标为，然后构建面积与t的二次函数，即可得出面积最大值和点D的坐标；
②过点作，在中，由，，得出点M的坐标，进而得出直线ME的解析式，联立直线ME和二次函数，即可得出此时点D的坐标；
（3）根据题意，当点P在点C时，Q点坐标为（-6,6），当点P移动到点A时，Q′点坐标为（-4，-4），动点所经过的路径是直线QQ′，求出两点之间的距离即可得解.
【详解】（1）依题意得：，解得
∴
（2）①∵，
∴设直线AE为
将A、E代入，得
∴
∴直线
设点坐标为，其中
过点作轴交于点，则坐标为
∴
∴
即：
由函数知识可知，当时，，点坐标为
②设与相交于点
过点作，垂足为
在中，，，
设，则，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴（舍去），
当时，
∴

（3）当点P在点C时，Q点坐标为（-6,6），当点P移动到点A时，Q′点坐标为（-4，-4），如图所示：

∴动点所经过的路径是直线QQ′，
∴
故答案为.
此题主要考查二次函数以及动点综合问题，解题关键是找出合适的坐标，即可解题.