数学是什么(前言).doc
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1、数学是什么(美)柯朗&罗宾数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。它的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面,然而正是这些互相对立的力量的相互作用,以及它们综合起来的努力,才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。毫无疑问,数学的一切进展都不同程度的植根于实际的需要。但是理论一旦在实际的需要中被推动了,就不可避免的会使它自身获得发展的动力,并超越出直接使用的界限。这在应用学科和理论学科的发展历史中,经常出现这种情况。今天,在许多工程师和物理学家所写的有关近代数学的论文中,也是屡见不鲜的。大约在
2、公元前两千年,东方国家出现有记载的数学,巴比伦人积累了极其丰富的资料,这些资料今天看来应属于初等代数的范围。至于数学作为现代意义的一门科学,则是直到公元前四至五世纪才在古希腊出现的。东方人和希腊人之间的接触不断增多(始于波斯帝国时期,至亚历山大时期达到高峰),使希腊人得以熟习巴比伦人在数学和天文学方面的成就,很快数学问题便风行于希腊城邦的哲学讨论之中。因而希腊的思想家逐渐意识到,数学中存在着若干极困难的概念,如连续性、运动、无限性,以及在用已知的单位量度量任意量的问题中。这些难题经过了艰辛的努力后,产生了欧多克斯的几何连续统理论,它堪于两千多年后的现代无理数理论相媲美。数学中这种公理演绎法就是
3、从欧多克斯时代逐步发展起来的,又在欧几里得的“几何原本”中得以充分表达。虽然希腊数学的理论化和公理化得倾向一直是它的一个重要特点,并且曾产生过巨大的影响。但是,对这一点我们不能过分强调,因为在古代数学中,应用以及同客观实际想结合相结合起了同样重要的作用,而且严谨性较欧几里得几何原本差的表达方式通常更受欢迎。由于较早的发现了有关“不可公度”量的困难,希腊人没能先于东方人掌握的数值计算的技术,他们改变方向,专注于研究如何突破纯粹公理化几何的障碍。于是科学史上出现了一段迂回曲折,这意味着一个很好的机会可能被错过了。几乎长达两千年之久,希腊几何的倾向性严重障碍了数的概念和代数运算的正常进展,而正是这些
4、进展构成了近代科学的基础。经历了一个漫长的酝酿过程,直到十七世纪,随着解析几何与微积分的发展,数学和科学又进入了生机勃勃的大变革时期。此时,虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位,但是希腊人对于公理体系的定型和系统的推演的兴趣,在十七、十八世纪逐渐消失,从一些明确的定义和显见的互不矛盾的公理出发,进行严密的逻辑推理,这对于数学科学新的开拓者来说,似乎已无关紧要了。通过直观的猜想、严谨的推理和无意识的神秘主义,以及对形式推理方法的力量的盲目自信,他们开拓了一个蕴藏着无尽宝藏的数学世界。但是后来,大发展引起的狂热逐渐让位于一种克己精神。到了十九世纪,由于学科严密化的内在需要,且同时受到法国大革命激起的
5、扩大高等教育的热情的影响,要求其内容更加可靠的呼声日益高涨,就不可避免地要校验这些新数学,特别是微积分及其极限概念的基础。因此十九世纪不仅成为一个新的发展时期,同时也成功的返回到严格证明的古典理想时期。在这方面,它甚至胜过了希腊科学的模式。于是,重心再次向逻辑纯粹性和抽象性的一侧偏去。时至今日,我们仍处于这个时期。然而人们期望纯粹数学和实际应用脱节的局面经历一个批的修正阶段判性,进入一个两者紧密结合的新时代。恢复数学本来面目的力量,特别是在清晰理解的基础上得到认识上的极大简化,使得人们有可能在不忽略应用的前提下来掌握数学理论。再次建立纯数学和应用科学之间的有机结合,抽象的共性和丰富多采的个性之
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