第七节函数展开成傅里叶级数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,一,.,三角级数 三角函数系正交性,在高等数学学习当中，接触两类,基函数,：,函数在,一点,性质,周期函数,(,整体性质,),Fourier,级数,三角级数 表示周期函数,第1页,谐波分析,称为三角级数.,简单周期运动,:,复杂周期运动,:,得级数,(一)三角级数 表示周期函数,第2页,1757年,法国数学家,克莱罗,在研究太阳引发摄动时,大胆地采取了三角级数表示函数:,1759年,拉格朗日,在对声学研究中使用了三角级数.,1777年,欧拉,在天文学研究中,用三角函数正交性,得到了将函数表示成三角函数时系数.,也就是现今教科书中傅立叶级数系数,.,第3页,在历史上,三角级数,出现和发展与求解微分方程,1753,年.丹,贝努利,首先提出将弦振动方程解表示为,是分不开.,三角级数形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它发展.,1822年,傅立叶,在 热解析理论 一书中,对于欧拉和贝努利等人就一些孤立,特殊情形,采取三角级数方法进行加工处理,发展成普通理论,.,傅立叶,指出:,能够展开成级数,第4页,其中,第5页,证:,同理可证:,正交,上积分等于 0.,即其中,任意两个不一样,函数之积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二)、三角函数系正交性,第6页,上积分不等于 0.,且有,不过在三角函数系中两个,相同,函数乘积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,二、函数展开成傅里叶级数,问题:,2.,展开条件是什么?,且能展开成三角级数,第8页,(利用正交性),第9页,(利用正交性),第10页,傅里叶系数,第11页,代入傅里叶系数三角级数称为,傅里叶级数,问题:,在什么条件下函数能够展开成傅里叶级数?,狄利克雷,于1829年第一次对于傅立叶级数收敛性,给出了严格证实.,得到了现今教科书中所谓狄利克雷判定准则,.,第12页,定理,(,收敛定理,展开定理,),设,f,(,x,)是周期为2,周期函数,并满足,狄利克雷,(Dirichlet),条件,:,1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2),在一个周期内只有有限个极值点,则,f,(,x,)傅,里,叶级数收敛,且有,x,为间断点,其中,(,证实略,),为,f,(,x,),傅,里,叶系数,.,x,为连续点,注意:,函数展成傅,里,叶级数条件比展成幂级数条件低得多.,介绍 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,则有,则有,有,既,第14页,例,1.,设,f,(,x,)是,周期为 2,周期函数,它在,上表示式为,解:,先求傅,里,叶系数,将,f,(,x,)展成傅,里,叶级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,1),依据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数部分和迫近,说明,:,f,(,x,)情况见右图.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,不一样频率,正弦波,逐一叠加成,方波,物理意义,第18页,第19页,第20页,第21页,第22页,第23页,傅里叶级数展开式意义函数整体迫近.,第24页,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,例2,第25页,第26页,第27页,非周期函数展开成傅里叶级数,而且满足收敛定理条件，,可利用周期,延拓,展开成傅里叶级数，,第28页,周期延拓,傅,里,叶展开,上傅,里,叶级数,定义在,上函数,f,(,x,),傅氏级数展开法,其它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,例,3.,将函数,级数,.,则,解:,将,f,(,x,)延拓成以,展成傅,里,叶,2,为,周期,函数,F(x,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,物理意义,不一样频率,余弦波,逐一叠加成,锯齿波,第32页,利用此傅氏展开式求,几个,特殊级数和,第33页,第34页,例,4,.,将函数,展成傅里叶级数,其,中,E,为正常数.,解:,延拓成以2,为周期,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,例5,解,第37页,三、正弦级数或余弦级数,1.,奇函数与偶函数傅里叶级数,第38页,证,奇函数,同理可证,(2),偶函数,证毕,第39页,定义,第40页,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,例,第41页,和函数图象,第42页,第43页,观察两函数图形,第44页,2.,在,0,上函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,)在 0,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,)在 0,上展成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第45页,例,1.,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:,先求正弦级数.,去掉端点,将,f,(,x,)作,奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第46页,注意:,在端点,x,=0,级数和为0,与给定函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以得,f,(,x,)=,x,+1 值不一样.,第47页,第48页,再求余弦级数,.,将,则有,作,偶周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第49页,说明:,令,x,=0,可得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第50页,第51页,内容小结,1.周期为 2,函数傅,里,叶级数及收敛定理,其中,注意:,若,为间断点,则级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第52页,2.周期为 2,奇、偶函数傅,里,叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数傅,里,叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.,在 0,上函数傅,里,叶展开法唯一吗?,答:,不唯一,延拓方式不一样级数就不一样.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思索与练习,第53页,傅里叶,(1768 1830),法国数学家.,他著作热解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统利用了三角级数和,三角积分,他学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分,.,最卓越工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来,文件,他深信数学是处理实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术发展,都产生了深远影响.,第54页,狄利克雷,(18 05 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法数学家.,函数,f,(,x,)傅里叶级数收敛第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项次序不影响级数和,举例说明条件收敛级数不含有这么性质.,他主要,创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889,一,1897)中.,1829年他得到了给定,证实,第55页,