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《概率论及数理统计》课程
期 末 复 习 资 料
注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间及事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义
2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式及乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式及贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差及相关系数.
16、了解矩及协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值及样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值及样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
20、掌握极大似然估计法，无偏性及有效性的判断方法。
21、会求单正态总体均值及方差的置信区间。会求双正态总体均值及方差的置信区间。
23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、检验法、F检验法解题。
24、掌握正态总体均值及方差的检验法。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
3．准确地选择和运用全概率公式及贝叶斯公式。
4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数及分布函数的关系，联合分布及边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
5．会用中心极限定理解题。
6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。
数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1．统计量的判断。
2．计算样本均值及样本方差及样本矩。
3．熟记正态总体样本均值及样本方差的抽样分布定理。
4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
5．掌握无偏性及有效性的判断方法。
6．会求正态总体均值及方差的置信区间。
7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值及方差的假设检验的基本步骤。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
古典概型例子
摸球模型
例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;
例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率.
占位模型
例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：
(1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}；
(3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.
抽数模型
例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？
2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
如对于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。
例1：事件A及B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)
例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，，，
3．准确地选择和运用全概率公式及贝叶斯公式。
若已知导致事件A发生(或者是能及事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i | A)。
例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数及分布函数的关系，联合分布及边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]
例：随机变量的分布律为.

1
2
3
4

k
2k
3k
4k
确定参数k
求概率P(0<X<3)，
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的分布律及期望

(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]
例：已知随机变量的概率密度为，
确定参数k
求概率
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的密度及期望
(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,…,m,…；j=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P{(X,Y)ÎG}
求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,…,m,…；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,…,n,…
求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,…,n,…
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望E[g(X, Y)]
例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
0
1
2
3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
1
0.03
0.05
0.05
0.07
2
0.02
0.05
0.1
0.13
求概率P(X<Y)， P(X=Y)
求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3
求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律
(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x, y)
确定参数
求概率P{(X,Y)ÎG}
求边缘密度，，判断是否相互独立
求条件密度，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望E[g(X, Y)]
例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，
确定常数的值；
求概率P(X<Y)
求边缘密度，，判断是否相互独立
求条件密度，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
5．会用中心极限定理解题。
例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．
例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1．统计量的判断。
对于来自总体X的样本，由样本构成的各种函数是否是统计量。
2．计算样本均值及样本方差及样本矩。
3．熟记正态总体样本均值及样本方差的抽样分布定理。
4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量及极大似然估计量.
5．掌握无偏性及有效性的判断方法。
对于来自总体X的样本，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。
例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计
；；；；
求出方差，比较哪个更有效。
6．会求正态总体均值及方差的置信区间。
对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。
7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值及方差的假设检验的基本步骤。
对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。
例：设，u和未知，(X1，…，Xn)为样本，(x1,…,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u及给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验及给定常数比较是否显著偏大的步骤。

1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
古典概型例子 摸球模型
例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;
分析：本例的样本点就是从a+ｂ中有次序地取出m个球的不同取法；第m次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a个白球中取出一球，再在a+ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B＝｛第m次取出的球是白球｝
样本空间的样本点总数：
事件B包含的样本点： ，则
注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.
解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝
样本空间的样本点总数： =5005
事件B包含的样本点： =240，则 P(B)=120/1001=0.048
占位模型
例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：
(1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}；
(3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.
解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有N种不同分布，即n个质点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn
(1)在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含的样本点数：n!，则
(2)先在N个格子中任意指定n个格子，共有种不同的方法；在n个格子中放n个质点，且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件B包含的样本点数： ，则
(3)在指定的一个格子中放m(m≤n)个质点共有种不同方法；余下n-m个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有种不同方法.因此，事件C包含的样本点数： , 则
抽数模型
例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？
解：考虑次序.基本事件总数为：=5040，设B={能排成一个四位偶数} 。
若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数及百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有4=224个。 因此=2296/5040=0.456
2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A及B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)
解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(A－B)= P(A)－P(AB)=0.2，P(AB)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8
例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，，，
解：P(A－B)=0.1，P(AB)=0.8，==3/7，==4/7，==2/3
3．准确地选择和运用全概率公式及贝叶斯公式。
例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。
由全概率公式得 ；
由贝叶斯公式 。
4．(1)
例：随机变量的分布律为.

1
2
3
4

k
2k
3k
4k
确定参数k
求概率P(0<X<3)，P(1<X<3)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的分布律及期望
解：由 ，有 k＋2 k＋3 k＋4 k =1 得 k =0.1
P(0<X<3)= P(X=1)＋P(X=2)=0.3，P(1<X<3)= P(X=2)=0.2

=3，=10，D(X)==1
Y
0
1
4
P
0.3
0.6
0.1
=1
(2)
例：已知随机变量的概率密度为，
确定参数k
求概率P(1<X<3)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数的密度函数及期望
解：由 =1，有 ==1，得 k=3/8
P(1<X<3)===7/8.

==3/2，==12/5
D(X)==3/20

===
(3)
例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
0
1
2
3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
1
0.03
0.05
0.05
0.07
2
0.02
0.05
0.1
0.13
求概率P(X<Y)， P(X=Y)
求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3
求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律
解：P(X<Y)=0.7， P(X=Y)=0.2 X的分布律
X
0
1
2
p
0.5
0.2
0.3
Y的分布律
Y
0
1
2
3
p
0.1
0.2
0.3
0.4
X的条件分布律
X|Y=2
0
1
2
p
1/2
1/6
1/3
Y的条件分布律
Y|X=1
0
1
2
3
p
0.15
0.25
0.25
0.35
=0.8，=1.4，D(X)==0.76
=2，=5，D(Y)==1
=1.64，cov(X,Y)==0.04
==0.046 相关
Z=X＋Y的分布律
Z
0
1
2
3
4
5
p
0.05
0.13
0.22
0.3
0.17
0.13
W=max{X，Y}的分布律
W
0
1
2
3
p
0.05
0.18
0.37
0.4
V=min{X，Y}的分布律
V
0
1
2
p
0.55
0.22
0.23
(4)
例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，
确定常数的值；
求概率P(X<Y)
求边缘密度，，判断是否相互独立
求条件密度，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
解：由 =1，有 ==1，得 c=21/4
P(X<Y)==0.85

X及Y不独立

==0
==7/15
D(X)==7/15
==7/9
==7/11
D(Y)==28/891
==0
cov(X,Y)=0， =0，X及Y不相关
5．会用中心极限定理解题。
例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．
解：

例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得
所求概率为 。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1．统计量的判断。
2．计算样本均值及样本方差及样本矩。
3．熟记正态总体样本均值及样本方差的抽样分布定理。
4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量及极大似然估计量.

5．掌握无偏性及有效性的判断方法。
例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计
；；；；
求出方差，比较哪个更有效。
6．会求正态总体均值及方差的置信区间。
7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值及方差的假设检验的基本步骤。
例：设，u和未知，(X1，…，Xn)为样本，(x1,…,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u及给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验及给定常数比较是否显著偏大的步骤。
解: (1) 1.提出假设
2.选取统计量
3.对给定的显著性水平，查表得
4.计算
5.判断 若拒绝 反之,接受
(2)1.提出假设
2.选取统计量
3.对给定的显著性水平，查表得
4.计算
5.判断 若拒绝 反之,接受
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