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第三章 基本物理量的计算

§3.1 热力学量的计算
热力学量中水汽变量的形式比较多，最常用的有温度露点差()，水汽压(E)、比湿(q)、相对湿度(RH)和假相当位温等，它们之间有一定的联系，可以由一个量求取另一个量。
3.1.1 整层温度露点差SUM()
SUM(T－Td)是整层水汽饱和程度的度量，是一个标量。通常400hpa以下的层次便可。根据这样定义，有:
SUM(T－Td)= (3.1)
式中下标k=1,2,...7，分别是1000hpa，900hpa，...，400hpa等压面的标号。SUM()的单位取℃。
3.1.2 水汽压E和饱和水汽压Eｓ
水汽压E是空气中的汽态水本身的压强，当空气饱和时便是饱水汽压Es，E和Es都是标量。
Es被定义为在一定的温度下一定体积空气中，水汽达到最大限度含量时的分压强。因此，Es仅仅是温度t的函数。
E和Es不同，E不仅仅是温度t的函数，而且还是水汽含量多少的函数。
E和Es的计算公式是
(3.2)
式中a，b,均是常系数。=6.1078hPa，是t=0℃时的饱和水汽压。由于水面和冰面的饱和水汽压不同，因此，系数a和b取值也不相同；对于水面，取a=17.269,b=35.86；对于冰面，取a=21.8746，b=7.66 。
当t或>-15℃时，按水面处理
(3.3)
当t或<-40℃时，按冰面处理
(3.4)
当-15℃>t或>-40℃时，按冰水混合处理
(3.5)
以上各式中T或Td的单位均取℃，E和Es的量纲为和hPa。
3.1.3 比湿q和饱和比湿qs
比湿q定义为一定体积内水汽质量与空气总质量之比。设某体积内空气的质量为，水汽质量为，则有
(3.6)
当空气饱和时便是饱和比湿。比湿q与水汽压E之间有一定关系，即
q=0.622E/(P-0.378E) (3.7)
由于P>>E，因此有 q0.622E/p
空气饱和时有 (3.8)
以上各式中P, E, Es的单位取百帕(hPa)，q和的量纲是g/kg。
3.1.4 相对湿度
相对湿度是表示空气饱程度的物理量，其表达式为
RH＝q/ (3.9)
它是一个无量纲量，常用百分比来表示。若RH小于100％，则表示空气块未饱和；若RH接近于100％，则表示空气块已近饱和，可能会有水汽凝结。
3.1.5 位温θ和假相当位温θse
位温θ是空气质点在干绝热条件下所具有的温度，定义为
(3.10)
式中,单位取K，θ的量纲是K。在干绝热过程中空气质点位温θ具有保守性。假相当位温θse是在不可逆湿(假)绝热过程中气块按干绝热过程上升，到达凝结高度后产生凝结并继续湿绝热过程上升(凡是凝结施放的热量全部用来加热空气)，直到水汽全部凝结(并降落)完毕，然后按干绝热过程下降到1000hpa时的温度。也就是说θse相当于湿空气通过假绝热过程把它包含的水汽全部凝结降落完后所具有的位温。因此有
(3.11)
此处q的单位为kg/kg，若取q的单位为g/kg，则有
(3.12)
式中为凝结高度上的温度，若令，，，则的计算公式为：
(3.12)
式中t和的单位取℃，,,的量纲是K。
θse不仅包含了气压对温度的影响，而且也考虑了水汽对温度的影响，它在干绝热过程、假绝热过程和湿绝热过程中都具有保守性。θ和θse的量纲均是K。
§3.2 运动学量的计算
3.2.1散度的计算
在日常的天气图上看到的只是大气的水平运动，而看不到垂直运动。然而，大气的运动是三度空间的，水平运动和垂直运动是相互联系的，例如，在地面图上的高压区，风向四周散开，天气睛朗，有下沉运动；在低压区，风向中心汇合，天气多阴雨，有上升运动。高压区风向四周散开，表明气流“辐散”，低压区风向中心汇合，表明气流“辐合”。辐散、辐合如果用一种理想化的流场表示，即如图3.1所示。
可以看出，辐散时风速沿气流方向增大，辐合时风速沿气流方向减小，速度沿一定方向增大或减小的程度决定着辐散、辐合的大、小。在直角坐标X,Y中，水平分量u沿X方向变化的程度以表示，v沿Y方向变化的程度以表示。这二者之和表明水平辐散、辐合的程度。通常用散度D来表示，即
(3.13)

a.辐散流场 b.辐合流场
图3.1 辐散(a)和辐合(b)流场,矢线长短代表风速大小

D>0时为辐散，空气质量散逸；D<0时为辐合，空气质量聚积。D的量纲为1/秒。将上式写成差分形式：

若用天气图上各网格上的u,v分量进行计算，上式可改写为
(2.14)
其中m为地图投影放大因子，d为网格距，即 ，i为行，j为列。
3.2.2 涡度的计算
涡度是空气质块旋转强度的物理量。单位为1/秒，逆时针旋转时为正，顺时针旋转为负，从动力学角度来分析，涡度的变化，可反映天气系统的发生和发展。
单位面积上的环流量称为涡度x，相对涡度通常就简称为涡度。环流G是风速沿着环流闭合线的积分。

在最简单的情况下，考虑如图2.5所示的面积有

根据涡度的定义有：
(3.15)
是涡度x在Z方向上的分量。对于三维运动有

图3.2求取相对涡度x表达式的示意图

(3.16)
因为天气尺度的运动是准水平运动，所以，表征水平风场的垂直涡度分量最重要，通常人们只讨论涡度在Z方向上的分量，并直接以x记之：

涡度是流体旋转程度的一种量度，x就是垂直于X-Y平面的旋转向量。x>0，流场反时针旋转，为气旋性涡度；x<0，流场顺时针旋转，为反气旋性涡度。
计算相对涡度的常用方法有两种。
(1) 实测风涡度计算法
用实测风计算相对涡度与计算散度一样，是用网格点上的u,v分量进行计算的。即
(3.17)
(2) 地转风涡度计算法
在中纬度大尺度系统中，实测风与地转风相差不大。因此，可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求得相对涡度。用地转风计算的涡度称为地转风涡度。
把等压面上的地转风关系式 代入(3.15)式中，取g为常数，略去地转参数f的空间变化，得到地转风涡度
(3.18)
式中Z为高度,为高度场的拉普拉斯。将(3.18)式应用到天气图网格上，取g=9.8米/秒2，可改写成
(3.19)
由(3.19)式可求得地转风涡度。
3.2.3 散度、涡度计算的三角形法
对大范围的涡度、散度计算，一般采用网格法利用初始化以后的格点风场资料计算。对于小范围的涡度、散度计算，有时仅有几个测站测风资料而没有初始化好的格点风资料，或者刚收到实测天气报，需要立刻计算局地小范围的涡度、散度等物理量。这时采用三角形法比较好。当某区域内的测站点有三个以上时，总可以构成一个以上的三角形，我们可以利用构成三角形的三个点的测风记录，计算该三角形的涡度和散度。
对任意三个测点组成的球面三角形，在三个测点相距不太远的情况下，可近似以平面三角形处理。三角形任意两顶点所经过的经线可近似看作平行，并按照习惯定义正东为X方向，正北为Y方向，分别代表x,y和垂直方向的单位矢量。

图3.3三角形法示意图

如图3.3，{l1,j1}，{l2,j2}，{l3,j3}为组成三角形的三个测站的经纬度，三边的方向矢量取逆时针为正，计算如下：
(3.20)
对任意一测点，其经纬度都是已知的。由于地球近似为球体，其平均半径R=6371.11km，那么1°纬度的间距DL=2pR/360=1.11137´106m，1°经度的间距为DL´cosj，为了表述方便，不妨令{l4,j4}={l1,j1}，{l5,j5}={l2,j2}，则三角形三边的分量计算式为：
(i=1,2,3) (3.21)
三角形的面积为:
(i=1,2) (3.22)
若一测点的风速为V，风向为a，则东西方向和南北方向的风速分量u、v的计算如下:
(3.23)
(1) 涡度x的计算
如图3.3， 涡度x可表达为:
(3.24)
对于由三点组成的三角形，三点的测风分别为，则沿三角形三边的环流量分别为:
(3.25)
考虑到，总的环流量为：

(3.26)
(3.27)
(2) 散度D的计算
如图(3.3) 散度D可表达为:
(3.28)
先考虑点的空气微团在时间内移动到引起的面积变化量为:

由图3.3可知，为点的空气微团在时间内的位移,所以,。因此，面积变化率为：
(3.29)
同理,点的空气微团在时间内移动到、引起的面积变化率为：
(3.30)
总的面积变化率为：

(3.31)
将(3.31)式代入(3.28)式,得散度为:
D (3.32)
设三角形中心O点的经纬度为，计算出的涡度、散度应为O点的值。根据平面解析几何的知识，O点的经纬度为组成三角形三站经纬度的平均，即：
(3.33)
(3) 上机计算方案
第一步 选定计算区域及计算层次，从天气报或其他途径获取计算范围内测站的测风资料，假定有N个测站(N≥3)，将这N个测站的经纬度及风向风速资料建成一个数据文件。
第二步 根据区域内的站点分布，选好三角形，使之尽量接近正三角形，计算出每一个三角形的涡度、散度及中心点的经、纬度，具体步骤如下：
a.取区域内的一测站为基准点A，计算出A点到其他站点之间的距离(k=1...N-1)。若N>3，求出三个最小距离的平均值D，取半径R=1.5D，选出≤R的站点，假定选出了M个站点；若N=3，则M=2。
b. 对选出的第k个站点，计算出(k=1,2,...M)与X轴正方向的夹角，将M个站点按值从小到大排序。
c. 对排好序的M个站点，进一步筛选，剔除距基准点A较远的站点，具体过程如下：
(1) 置，，，，从k=1循环到M，计算出点与点之间的距离，若，且且，则将记录下来。假定经过循环结束后有P个站被记录下来。
(2) 将剩余的M－P个站重新排列，置M←M－P。
(3) 重复(1)、(2)，直到P=0为止。
d. 从k=1循环到M，置，若，则A，，三站组成的三角形可选入，三站按逆时针排列的顺序为：A，，。三角形A的涡度、散度的计算过程如下：
(1) 根据(3.21)式计算三角形三边的分量x、y(i=1,2,3)。
(2) 根据(3.22)式计算三角形的面积。
(3) 根据(3.23)式计算三角形三个顶点的风速分量u、v(i=1,2,3)。
(4) 根据(3.27)式和(3.32)式计算三角形内的涡度、散度D。
(5) 根据(3.33)式计算三角形中心的经纬度。
e. 重复a－d四步，直到区域内所有站点都作为基准点考虑完为止。
第三步，输出计算结果。
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