数分第十六章十七章复习题.doc

第16章和第17章的复习自测题
一、了解两点间的距离的含义和点的邻域（包括圆邻域和方邻域）和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系（内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系）；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题：
1、据理说明：设，
（1）的内点 的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而
；
（2）的孤立点 的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而
。
2、根据1的结果证明（的闭包（记为）的两种表示）：设，则
；
3、（聚点的等价关系）设，，则下面的说法等价
（1）是的聚点（即对的任意邻域，总有）；
（2）存在中的一个点列，，使得；
（3）对的任意邻域，总有为无限集。
注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。

二、了解开集（即），闭集（即），（道路）连通集，凸集，开域，闭域和区域的含义，并用这些集的含义解决下面的问题：
1、（开集和闭集的对偶关系）是开集是闭集；是闭集是开集；
注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算（或称补运算）下，可相互转化。
2、开集和闭集的并交差运算性质：
（1）若，为开集，则和仍为开集；
（2）若，为闭集，则和仍为闭集；
（3）若为开集，为闭集，则为开集（即开集减闭集的差集仍为开集），为闭集（即闭集减开集的差集仍为闭集）。
3、设为上的连续函数，，记
，，
，，
证明和是开集，和是开集。
提示：（1）利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明和是开集；
（2）注意到，，利用开集和闭集的对偶关系证明和是开集。

三、熟悉上的四个完备性定理（点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理（包括致密性定理），有限覆盖定理）的内容，并会用实数的完备性定理或其证明方法证明着四个定理。

四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系，熟练掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性），试用上面的内容解决下面的问题：
1、叙述并证明的局部保号性和局部有界性；
2、证明（极限的夹逼性）：若，，在点的某空心邻域满足：
，
且
，
则。
3、证明：若，且对任意固定的，有存在，则
，且。
4、归纳讨论的（重）极限不存在的两种方法（特殊路径法和累次极限法），并用适当方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限：
（1）；（2）；（3）。
提示：（2）取可得，，用待定函数法取，其中可得，从而不存在。
5、归纳并熟练掌握求重极限的常用方法（定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变换转化为一元函数的极限），并用夹逼性求下列极限（包括非正常极限）：
（1）； （2）；
（3）； （4）。

五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题：
1、讨论下列函数的连续性：
（1）； （2）；
（3）；
（4），其中为狄利克雷函数。
2、设（），试讨论它在点的连续性。
3、（复合函数的一致连续性）设合在平面上的点集上一致连续，在平面上的点集上一致连续，且
，
则复合函数在点集上一致连续。

六、掌握二元函数连续与对单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题：
1、设在开域内对，都连续，且对连续关于是一致的：即对任意以及任意，存在，当时，对一切，都有
。
证明：在开域内连续。
2、设在开域内对，都连续，且对任意固定的，是的单调函数，证明：在开域内连续。

七、熟练掌握函数可微的定义（两种形式的定义）和偏导数的定义，熟习用定义讨论函数在一点可微的程序，并用这一程序解决下面的问题：
1、简述讨论函数在一点可微的程序；
2、设
，
试讨论
（1）在原点处的连续性；
（2）和的存在；
（3）在在原点处的可微性。

八、简述在一点的连续，偏导数和可微之间的关系（具体包括可微与连续的关系；可微与偏导数的关系；偏导数与连续的关系；在一定条件下偏导数与连续的细致关系，偏导数与可微的细致关系）。

九、仔细体会并熟练掌握多元函数微分中值公式（包括证明方法：插项法和一元函数的微分中值公式），并用微分中值公式或证明方法解决下面的问题：
1、若在点的内存在偏导函数，在点连续，且存在，则在点可微。
提示：用微分中值公式的证明方法和可微的定义。
2、若在点的内存在偏导函数，有界，且在点处对连续，则在点连续。
提示：用微分中值公式的证明方法和连续的定义。
3、设函数定义在平面上，
（1）若，探索与的关系；
提示：考虑对用一元函数的微分中值公式可得，，它表明不受的影响，即实质上是的一元函数。
（2）若，探索与的关系；
（3）若，，则有何特点？

十、仔细体会偏导数的求法（包括定义法，即偏导数的本质是适当一元函数的导数的方法，运算法则），并能并熟练运用这些方法求函数的偏导数。试用上述内容解决下面的问题：
1、设，求，。
注意：其中和的计算必须用定义
2、设，求，，以及，。
3、设，求，，，。
提示：用定义法比较简单。

十一、仔细体会并熟练掌握复合函数的微分法（注意复合函数求导法则记忆的复合关系图法或矩阵法），并用复合函数微分法解决下面的问题：
1、设具有二阶连续的偏导数，且，，求
（1）和；
（2）探索，和的关系
提示：（1）在两边对求导得，。
（2）在的两边再对求导。
2、设，其中和具有二阶连续的导数，则
，
其中。
3、设，其中和具有二阶连续的导数，则
，
其中。

十二、仔细体会并掌握可微的齐次函数的微分等式（包括证明方法）（课本P123页第6题），试用齐次函数的微分等式或证明方法解决下面的问题：
1、设是次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数，证明：，
特别，当时，，其中。
提示：用证明方法。在两边对求二阶导数得，
，
再取即可。
2、设是次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数，证明：，都是次齐次函数，即
，。
提示：用齐次函数的微分等式，在此式两边分别对，求偏导即可。
3、设可微，且满足：（），证明：
（1）（提示：取记即可）；
（2）。
提示：在两边对求导，再取即可。

十三、我们知道二元函数的二阶混合偏导数和实际上可归结为函数
，
的两种不同顺序的累次极限，因此和的有关问题实际上取决于函数的特性。请仔细体会函数的变形过程，并解决下面的有关混合偏导数的问题：
1、若，和都在内存在（其中），且在点连续，则存在，且
。
2、若，都在内存在（其中），且，都在点可微，则
。
3、若在平面上满足：，探索的特征。
提示：记，，连续两次对适当函数运用一元函数的微分中值公式可得，存在，，使得
，
从而，表明函数可表示成的一元函数和的一元函数的和。

十四、仔细体会二元函数的泰勒公式，试用泰勒公式解决下面的问题
1、若函数在凸开域内可微，且和在内有界，则在内一致连续。
2、试将函数按，的正数幂展开，其中
。

十五、仿照课本P137页的定理17.11，类似地写出具有二阶连续偏导数的三元函数的稳定点是否为极值点的一个充分条件。

十六、运用课本P137页的定理17.11解决下面的问题（调和函数的最值性）：
1、设函数在开域内具有二阶连续的偏导数，满足：（称为内的调和函数），且，证明：在开域内没有极值点，从而在开域内一定不能达到最大值和最小值。
提示：注意到
，
可得
。
2、设函数在有界闭域上具有二阶连续的偏导数，满足：（称为内的调和函数），且，证明：在上必有最大值和最小值，且最大值和最小值必在上取到。
提示：利用有界闭域上的连续函数的最值性可得在上必有最大值和最小值，再利用1可得最大值和最小值必在上取到。