曲线的凹凸性及拐点.doc

一、曲线的凹凸性及拐点
引导学生观察下列图象
y
x
o

a
b

y
o

a
b
x

凹弧
凸弧

1.定义1 设函数在区间内可导，
（1）若曲线位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方），则称曲线在区间内是凸的，区间称为函数的凸区间.
（2）若曲线位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方），则称曲线在区间内是凹的，区间称为函数的凹区间.
2.定义2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.
3.定理1 设函数在闭区间上连续，在开区间内具有二阶导数，
（1）若在内，，则曲线在区间内是凸的.
（2）若在内，，则曲线在区间内是凹的.
4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：
（1）求出函数的一阶导数，再求二阶导数；
（2）求出二阶导数的点，以及不存在的点；
（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；
（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点.
例1、讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.
例2、讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.
二、函数曲线的曲率
曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为. 一般情形下，如图1，弧
的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏
差. 可是，弧的全曲率与弧的全曲率相同，但前者显
然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身
的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位
那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长
度为的弧的全曲率同弧长的比值，称为该弧的
平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限

定义为弧在点A处的曲率 (其中为弧的全曲率,
为弧的长度)。
对于半径为R的圆周来说 (图2)，由于，
所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为
(半径的倒数)
对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点处的曲率时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点相切 (即有公切线)且半径. 这样的圆周就称为弧上点处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点处的曲率中心。如图3中那个抛物线在原点或点的曲率圆。请注意，因为曲率有可能是负数(在实际应用中，有时把绝对值称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。

对于用方程表示的弧(图4)，由于
，
所以，若有二阶导数，则

注意到，则弧上点处的曲率为
(曲率公式)
当时，曲率半径为
(曲率半径公式)
其中，时，曲率和曲率半径都大于，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图4)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图11中那个抛物线，因为，所以
(曲率) , (曲率半径)
显然，原点处有最大曲率，最小曲率半径. 点处的曲率和曲率半径依次为
，
可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。

3