2022届高三数学一轮总复习基础练习：第五章-数列5-1-.docx

第一节　数列的概念与简洁表示法
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)
解析　将0写成，观看数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.
答案　C
2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝(　　)
A. B.
C. D．30
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.
答案　D
3．(2021·福建安溪月考)数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝(　　)
A. B.
C．5 D．6
解析　由于a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝.所以a5＝····a1＝××××1＝.故选A.
答案　A
4．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对全部正整数n都成立，则a10等于(　　)
A．34 B．55
C．89 D．100
解析　a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8，a7＝a6＋a5＝13，a8＝a7＋a6＝21，a9＝a8＋a7＝34，a10＝a9＋a8＝55.
答案　B
5．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an，若a6＝64，则a9等于(　　)
A．256 B．510
C．512 D．1 024
解析　在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an，所以a12＝a6·a6＝642，又a6＝a3·a3，所以a3＝8，所以a12＝a9·a3，解得a9＝＝512.故选C.
答案　C
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)
A．{1,2} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,4}
解析　由于Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，
所以{an}是公比为2的等比数列，
又由于a1＝2a1－1，解得a1＝1，
故{an}的通项公式为an＝2n－1.
而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
答案　B
二、填空题
7．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的第________项．
解析　将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n组n个，，，，…，，，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
答案　50
8．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析　易知a1＝20>0，明显要想使和最大，则应把全部的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最终一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案　10或11
9．(2021·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．
解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
答案　an＝(n∈N*)
三、解答题
10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开头各项都是正数？
解　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
∴从第7项起各项都是正数．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)记bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)×2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)×2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)×2n－2
＝2n－2×，
∵an＋1≥an，∴12×n－2＋a－3≥0，∴a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．

1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1<an的n的取值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析　由an＋1<an，得an＋1－an＝－＝<0，解得<n<，又n∈N*，∴n＝5.
答案　C
2．(2022·广东三校期末联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a1 413－a1 314＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，….
归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1 413－a1 314＝.
答案　D
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数，如图所示．

他们争辩过图中的1,5,12,22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律连续下去，第n个五角形数an＝________.
解析　观看图形，发觉a1＝1，a2＝a1＋4，a3＝a2＋7，a4＝a3＋10，猜想当n≥2时，an＝an－1＋3n－2，所以an－an－1＝3n－2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－2)＋[3(n－1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝n2－n.
答案　n2－n
4．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
又∵a＝－7，∴an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
∴5<<6，∴－10<a<－8.