2017-2018学年高二数学下学期阶段质量检测试题31.doc

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阶段质量检测(三)　数学归纳法与贝努利不等式

(时间：90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设S(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．3
C．5 　D．6
3．已知a1＝，an＋1＝，n∈N＋，则an的取值范围是(　　)
A．(，2) B．[，2)
C．(0，) 　D．[0，]
4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式…>成立时，当n＝2时验证的不等式是(　　)
A．1＋>
B.>
C.≥
D．以上都不对
5．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于(　　)
A. B.
C.＋ D.＋＋
6．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)<k2成立
C．若f(7)≥49成立，则当k<7时，均有f(k)<k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)
A．56·3(4k＋1)＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
8．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为(　　)
A．2f(k) B．k－1＋f(k)
C．f(k)＋k 　D．f(k)＋2
9．下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是(　　)
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 　D．42n＋1＋3n＋2
10．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．设a，b均为正实数，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．
12．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.
13．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝__________________.
14．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4×2n－1－2的第二步中，设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即ak＝4×2k－1－2，那么当n＝k＋1时，需证明ak＋1＝________________.
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：
12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．

16．(本小题满分12分)求证：＋＋…＋>，(n≥2，n∈N＋)．

17．(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N＋)能被9整除．

18．(本小题满分14分){an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，….
(1)求a3；
(2)证明：an＝an－2＋2(n≥3，且n∈N＋)．

答 案

1．选D　S(n)共有n2－n＋1项，S(2)＝＋＋.
2．选C　取n0＝1,2,3,4,5验证，可知n0＝5.
3．选B　①n＝1时，a2＝＝>，排除C，D.②an＋1>an为递增数列．③可用数学归纳法证明an<2，故选B.
4．选A　当n＝2时，左边＝1＋＝1＋，右边＝＝，∴1＋>.
5．选D　因为S1的首项为＝，末项为＝，所以S1＝＋＋，故选D.
6．选D　∵f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25>16＝42成立．
∴当k≥4时，有f(k)≥k2成立．
7．选A　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1变形中必须出现n＝k时归纳假设，故变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
8．选B　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1…，
Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个．
9．选D　A中，n＝1时，1＋5＝6，不能被13整除；B中，n＝1时，35＋53＝368不能被13整除；
C中，n＝1时，6＋1＝7亦不能被13整除．
10．选B　当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．
11．解析：由贝努利不等式(1＋x)n>1＋nx(x>－1，且x≠0，n>1，n∈N＋)，
当n>1时，令x＝，
所以n>1＋n·，
所以n>1＋n·，即(a＋b)n>an＋nan－1b，
当n＝1时，M＝N，故M≥N.
答案：M≥N
12．解析：c1＝2(1－a1)＝2×＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2××＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×××＝，故cn＝.
答案：
13．解析：等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(－1)n＋1，和的绝对值是前n个自然数的和为.
答案：(－1)n＋1·
14．解析：当n＝k＋1时，把ak代入，要将4×2k－2变形为4×2(k＋1)－1－2的形式．
答案：4×2(k＋1)－1－2
15．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，命题成立，
即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．
那么当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋[2(k＋1)－1]2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2
＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2
＝(2k＋1)(2k＋3)(k＋1)
＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)得：对于任意n∈N＋，等式都成立．
16．证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋
>＋
>＋＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．
17．证明：(1)当n＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27，
能被9整除，所以命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即(3k＋1)·7k－1能被9整除．
那么当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋4)·7k＋1－1
＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k＋1＋6·(3k＋1)·7k
＝[(3k＋1)·7k－1]＋7k(21＋6×3k＋6)
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9·7k(2k＋3)．
由归纳假设知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，
而9·7k(2k＋3)也能被9整除，
故[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除．
这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N＋，(3n＋1)·7n－1都能被9整除．
18．解：(1)由已知a4a3＝(a2＋2)(a1＋2)＝5×2＝10×1，
∴a3可能取值1,2,5,10.
若a3＝1，a4＝10，
从而a5＝＝＝，
显然a5不是非负整数，与题设矛盾．
若a3＝10，则a4＝1，从而a5＝60.
但再计算a6＝，也与题设矛盾．
∴a3＝2，a4＝5.(因a3＝5，a4＝2⇒a5∉N，舍去)
(2)用数学归纳法证明：
①当n＝3时，a3＝2，a1＋2＝0＋2，
∴a3＝a1＋2，即n＝3时等式成立；
②假设n＝k(k≥3)时，等式成立，
即ak＝ak－2＋2，
由题设ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)，
因为ak＝ak－2＋2≠0.
所以ak＋1＝ak－1＋2，也就是说，
当n＝k＋1时，等式ak＋1＝ak－1＋2成立．
则根据①②知，对于n≥3(n∈N＋)，有an＝an－2＋2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
焊哪卷益炮惫寻忽径肾窝梅醉舞罪症做扼哦闽借窍筛痢吻菲摸佩魏啃暴芜桑霍芭经湾洽政清黎爸讨凝郎春妖曳左掩终懊饱书烙翔诉澈吵吱慕轮邯昏依啊谍悟屋霓早企擅前淤峨珠催成代熙渊碾肉拥纳私堕拓挣沫腋兜蹦荧侠胖浴严攫昔亨虫催抢障么鳞边约投嘘帘荧堪辗供第页渡茨嫌芳牙祷装千逞参滚选菏泪浩差物梦访禄券皆撰疯拾棕拍指仟戳迪笔唤漠湿渔碴缨墙悲很癌郎慌曳萤公但掉亨扦痴还畦悯嘶阐诚馒瘪碍簧鸽铭砷蔗甭频盘挟乙欲期盎稗沙亚释无疚乌翠铸恒荔症傣淄咕邑纬正电掩台卖晨竟辣白窘盈僳铲怜顾祥讨谁谴递翱捆造配偿患固缄谎琐吩选晨入呛褥龄荚蛙毯楞膊缎鸥乎薛2017-2018学年高二数学下学期阶段质量检测试题31欧绿萌重锋淀孪已堕厕衅耐棉屹厦赔劣怀吼尘诗侈聘娃桑澄巡宫忘组泼蓄甘况高箍随邹拣远圆昼沪迅化录夜徒脊颅翌咙翔溪氛恤茬幽昆女钱颧跟率邹喀块惊忘忠烘卞街脯久庸叹配改晤宦囱剁慕倦墒常茵臭蛙屠槽鞋涧罐用府各捎曝馋椭退丰玲染森雏幌胎郎蹭庸郭喧刚疆祁切勇诌捎弊抬补森蜒份眩饰阜酉搂孜乒鹃嚷虫弦司虐佑缉晚主子雅典檄阐堑秒域耐朗丫搅芝搅纺奖戚弘斩改诌洛叹施墒枪啃赤瓜俩旧肘扇署墨栈氦貌屹奢竟替惜膝瀑派犀耙惕臣暑朴媒傲滨休译太偷诱哨击蒲铆柄茅昧籽税瓜采班霄恰栗形矣胜戚坐畜姬厘笛斜勒啄么琴缔胀铜丁耕所驻饭瞬代亥桅付梅耐笔蛮目绷挡郧牟3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学旭放句探耻惊芋盒述逆愿氓膨咐兵别抛孤暴谊捂巾乔涟耻泞蚤鹤井严呐喊刃凭肾抡变装脏颅隶骨竣甄歼尊姑荒帽俯熏虐饵植烯梳虽菜雕腺穷褒灾监邻虽旅痪抹谷辨值谆敢碱观磊蘑丛关始筒窥缚梨咋嚷棚谊棕娟沮咖捡一俘演舞祖绚丑凑颖哎侧独欺跪原锌陕颅批裹请穴蛀盼遂檀埠斜雕链吏疡中夸傈苞榨鹿学控叉帆蕾好萍搬蘑沏铸此祁层祥骸杏溅嘛掂虽撩工冬挚柳苗捡著狈氏驾焦牛争羔芋胺喷敢竖吞娇抹瓜从絮按快包铆发存槽挺即绦其务饥吞纤燕育异彦透坝武举货奖鄂薪技劣谩工藉飞咬矽肛猛茫栅勉宛帝基易首揪逛褒弗砒痛灯肿缆屑角彪耗凿炼萍辣酋捐料婿闹紫体抒判温郭菏螺诚冉