样本及抽样分布.ppt

绪言：概率论与数理统计的关系概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.数理统计概论概率论是在（总体）Ｘ分布已知的情况下，研究Ｘ的性质及统计规律性．数理统计是在（总体）Ｘ分布未已知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测.数理统计的研究方法通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法．,样本及抽样分布,下页,数理统计研究方法流程图：,总体Ｘ,,样本,采集数据抽样,,统计量,进行加工,对总体Ｘ作出推断,,对统计量分析,数理统计以概率论为基础，研究如何搜集资料，并对统计资料进行整理和分析，对整体的某些性质作出推断．数理统计内容丰富，应用广泛．本书介绍了数理统计初步知识：参数估计；假设检验[；方差分析；回归分析]。,,下页,4.3样本及抽样分布,随机样本与统计量,一、总体、个体与样本,1.总体：,研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示，它是一个随机变量。,个体：,组成总体的每个研究对象（或每个基本单位）称为个体。,总体分为有限总体和无限总体。,数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断,注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,该批灯泡寿命的全体就是总体,下页,样本：,从总体X中按一定的规则抽出的个体的全部称为样本，用X1，X2，…，Xn表示。,样本容量：,样本中所含个体的个数称为样本容量，用n表示。,根据n的大小样本有大样本、小样本之分。,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为“抽样”,下页,一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).,下页,2.简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点,由简单随机抽样抽得的样本：X1，X2,…，Xn称为简单随机样本。（样本）,简单随机样本：,显然，样本就是来自总体X的n个相互独立的且与总体同分布的随机变量X1，X2,…，Xn。可看成n维随机向量（X1，X2，…，Xn）。,简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样。,2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.,1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布.,若总体的分布函数为F(x)，则简单样本的联合分布函数为,F(x1)F(x2)…F(xn),下页,设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本。,常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设。,二、样本的数字特征,2.样本方差：,用于估计总体分布的方差。式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误。,3.样本矩：,K阶原点矩：,K阶中心矩：,1.样本均值:,下页,注意：,四、统计量,统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布。把统计量的概率分布称为抽样分布。,设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，g(X1，X2，…，Xn）是一个不含任何未知参数的连续函数，称g(X1，X2，…，Xn）为统计量。,下页,抽样分布(几个重要分布),一、的分布,设总体X的分布形式未知，E（X）=μ，D（X）=σ2，,（X1，X2，…，Xn）为X的一样本。则X1，X2，…，Xn独立同分布且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(i=1,2,…,n),若总体X~N(μ,σ2)，则,若总体X~N(0,1)，则,则,特别，,下页,例1．设总体X~N（12，4），抽取一个样本（X1，X2，…，X5）．,求（1）P{＞13}；（2）P{|-12|＞0.5},解：,∵X~N（12，4），∴~N(12,4/5),且,（1）P{＞13},（2）P{|-12|＞0.5},=1-[Φ(0.56)-Φ(-0.56)]=2-2Φ(0.56)=0.5754,下页,的点Zα为N(0，1)分布的上100α百分位点。,二、标准正态分布的百分位点,P{X＞Zα}=α，,（1）称满足条件,记－Zα=Z1－α,由于,（2）称满足条件,设X~N(0，1)，对给定的α(0＜α＜1）,的点为N(0，1)分布的双侧100α百分位点。,∵,即,∴,下页,查正态分布表得：==1.96,又如，α=0.05，则==，,附：Zα的值的确定－查《标准正态分布表》法,P{X＞Z0.05}=0.05，即P{X＜Z0.05}=0.95，查表得：Z0.05=1.645,P{X＞Z0.01}=0.01，即P{X＜Z0.01}=0.99，查表得：Z0.01=2.33,例如，,下页,三、分布,记作,1.定义：,设X～N(0,1)，（X1，X2，…，Xn）为X的一个样本，,令,则服从参数（自由度）为n的分布。,可见：n个独立同服从N(0,1)分布的随机变量的平方和，为自由度为n的分布。,2.(n)分布的概率密度,且E()=n,D()=2n,～,下页,（1）若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则：,1与S2相互独立；,2,(2)若,且它们相互独立，,则,3.分布的性质,下页,的点为分布的双侧百分位点。,4.分布的百分位点：,（1）称满足,，即,的点为分布的上100α百分位点。,（2）称满足,对给定的α（0＜α＜1）,例α=0.1，n=25，查分布表得：,下页,例2．设总体X~N（0，0.32）,n=10,求,解：,∵X/0.3~N（0，1），,∴,下页,四、t分布,为服从自由度为n的t（Student）分布，记作t~t(n)。,2.t分布的概率密度为,且,1.定义设X~N(0,1)，Y~(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量,E（T）=0，,下页,３.服从t分布的统计量,证明：,且与相互独立，,故,定理1设（X1，X2，…，Xn）为正态总体N(μ，σ2)的一个样本，则,下页,定理2设（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分别是从总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中所抽取的样本，它们相互独立，则,与相互独立,证明：因为,所以,又,即,，与相互独立，,故,于是,下页,由对称性：t1-α(n)=-tα(n).,4.t分布的百分位点：,设t~t(n)，对给定的α（0＜α＜1）,（1）称满足条件,P{t＞tα(n)}=α,，即,的点tα(n)为t分布的上100α百分位点。,的点为t分布的双侧百分位。,（2）称满足,例如，α=0.05,n=15，查《t分布表》得t0.05(15)=1.7531，,下页,五、F分布,2.F分布的概率密度,且U与V独立，则称随机变量,为服从自由度为（m,n）的F分布，记作F~F（m,n）．,1.定义,设,3.F分布的性质,例如：查《F分布表》得F0.05(15,12)=2.62,F0.95(15,12)=,下页,设F~F(m,n)，对给定的α（0＜α＜1）,（1）称满足,的点Fα(m,n)为F分布的上100α百分位点。,即,（2）称满足,的点,为F分布的双侧百分位点。,与,4.F分布的百分位点,下页,设X:X1，X2，…，Xn,1.,2.,若X~N（0，1），则,小结,下页,Xi~N（μ，σ2）,(1),(2),(3),说明：,3.,若X~N（μ，σ2），,下页,Y~N(μ2,σ22)：Y1，Y2，…,Yn2，它们相互独立，,则,若X~N(μ1,σ12)：X1，X2，…,Xn1,（1）,（2）,当σ12=σ22=σ2时，,4.两个正态总体,下页,2．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为一个样本，则（）成立。,练习,1．设总体X~N（8，4），X1，X2，…，X5为一个样本，则P{X>9}=（）；P{>9}=（）,(2)~t(7),（1）~t(8),(4)~t(8),(3)~t(7),3．设是来自正态总体N(μ，σ2）的样本，是样本均值，记,则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是．,,,下页,,结束,作业：,