高考数学一轮复习 新课标版 文科 第6章 数列.pdf

弟八早数列课内导航 ooooeeeo o oo0102课外阅读课前自助餐授人以渔第棵时数列的概念及简单表示复习要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公 式）2掌握利用递推公式求数列通项的方法.课前自助餐【回归教材】.数列的概念按照 一定顺序排歹U的一列数叫做数列.数列的通项公式如果数列诙的第n项旦与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.跖（=1）,若已知则.=_q Z3.-一 （三 2）.数列与函数数列诙是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,，)到实数集R的函 数，其自变量是序号对应的函数值是数列的第项为，记为&=/().数列 的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.数列的分类根据数列的项数可分为有穷数列、无穷数列按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列；递减数列；摆动数列；常数列.目递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这 个式子叫做这个数列的递推公式.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)1,2,1,2是一个数列.相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.一个数列只能有一个通项公式.(4)任何一个数列，不是递增数列就是递减数列.(5)若数列的前项和为工，则对任意N*,都有诙+i=S+i 尾.答案(1)V(2)X(3)X(4)X(5)V2.（课本习题改编）在数列1,1,2,取（C）A.19C.21解析设题中数列为诙,则。1=1 册,%=8+13=21.故选C.3,5,8,13,x,34,55,中，%应B.20D.22,2=1，的=2,观察可得几+2=几+1+13.（高考真题全国卷）数列斯满足四+1=工，恁=2,则=21 Q几解析 由+1=_ 及 8=2,得 2=彳二，解得。7=万；由。7=万，1一6解得6=1；同理可得的=2.由此可得4=123=-,2=2,d=2,-_4.（2022.山东师大附中月考）已知数列诙的前项和为S=f，贝lj%+，C I乙。6=一_-刀士匚 _ o。6+1 4+1 7 5_1用牛折 的 十。6一$6-046+2-4 I 28 6 24,5.（2022安徽淮南一模）设乂是数列&的前项和.若见=J,&+i=l则52 021 (B)A 2 017A2B.1009r2019J 2解析在数列四中,D.1 01022=1 1,的=1 一a 3 a2=2,Q.=1。及+1=11斯，则=1-=1以此类推可知，对任意的N*,即+3=斯，即数列斯是以3为周期的周 U3 乙（期数列.又 2021=3X673+2,因此 S202i=673S3+i+2=674S3的=674义万一1+2-2=1 009.故选 B.6.（2022.重庆七校联考）孙子算经记载，中国古代诸侯的等级从低到高 分别为男、子、伯、侯、公，一共五级.现每个等级的诸侯人数分别是1,2,3,4,5,按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为 的，2，。3，且满足为+1=四+左（左N*）；任一等级诸侯所得苹果数最多的比 高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个.现已知等级为男的诸侯所得苹果数为1,则这批苹果共有（B）A.158 个C.160 个B.159 个D.161个解析 由条件中ak+1=ak+k(k)9可以推算各个等级的诸侯所得的苹果 数.男=1；子*m=2,。2=3；彳白 i=4,。2=5,的=7；彳矣。1=8,。2=9,的=11,6z4=14；公 勾=15,a2=16,6/3=18,a4=21,%=25.因此这批苹果共有 1+5+16+42+95=159(个).故选 B.授人以渔题型一 归纳通项公式(自主学习)例1(1)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式心一1,7,13,19,；3,5,9,17,33,；5,55,555,5 555,；1,0,0,4,0,0,;【解析】符号可通过（一1）或（一1）1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后 面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为恁=（1）（6一5）.观察各项的特点：每一项都比2的次嘉多1,所以恁=2+1.将原数列改写为|x%|x99,|x999，易知数列9,99,999,的通项为 10”-1,故原数列的一个通项公式为斯=/101）.把原数列改写成;，?，1 1?,，分母依次为b 2,3,，而分123436/o1/_ 1 n+1子1,0,1,0,周期性出现，因此原数列的一个通项公式为诙=-亡-.3 5 7 9将原数列改写为ai 七 匕，对于分子3,5,7,9,，是序号 乙 J JL U JL/的2倍加1,可得分子的通项公式为勿=2+1,对于分母2,5,10,17,，联想到数列1,4,9,16,，即数列，,可得分母的通项公式为金=/+1,故可得原数列的一个通项公式为n十1【答案】为=(1)(6一5)斯=2+1c 5 n 八 1+(I)”2+1 a=g(10 1)an=苏 产.2+（2）（2022.山东荷泽重点高中联考）观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数火）为（A）【解析】由题意可得式1)=2+1；12)=3+2+1；八3)=4+3+2+1；大4)=5+4+3+2+1；火5)=6+5+4+3+2+1；/()=(+1)+(-1)+(几+1)(+2)+1=2状元笔记根据数列的前几项求通项公式时应考虑(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分.(4)各项的符号特征.题型二由必与斯的关系求通项公式例2已知数列恁的前项和为工,求诙的通项公式.(1)S=2/3；(2)Sn=3n+b.【解析】(1)当=1时，i=Si=-1.当三2 时，an=SnSn-i=(2n2-3n)2(n-I)2_3(n 1)=4n5.Zi也满足此等式，诙=4一5.(2)当三2 时,a=S一S1T=3+一3T5=23t.当=1 时，i=Si=3+A.当6=1时,q=3 1=2,满足诙=23t,恁=23一 当bW 1时，勾=3+4不满足恁=23一123-1 22,3+b,n=l.【答案】(lK=4n-5一 r(2 3-1,几22,当b=T时,。=一当月T时，。产3+几片1状元笔记已知S求&的一般步骤当=1时，由求的值.(2)当三2时，由斯mS”Sli，求得斯的表达式.检验的值是否满足中的表达式，若不满足，则分段表示所(4)写出。的完整表达式.B思考题i3,九=1,2，几22(1)已知&的前n项和为S,满足log2(Sn+l)=n+l,则an【解析】S+l=2+i,S=2+i 1.当n=l时，0=3.当三2 时，u,nSnS-i=2.不满足此等式，.3,n=l,产 2,心 2.(2)设义是数列诙的前项和，已知的=1,.=S/S一 1(22),则S=n_.【解析】依题意得Sn-iSn=S.iS(n22),整理得1；=1伽三2),1 1 1 1 1又2=：=1，则数列不是以1为首项，1为公差的等差数列，因此*=1+5一1)X1=，即 5=二.f 1/(3)设数列的前项和为S，已知国=审 乙%,且0=1,则数列1的通项公式为工2几-1-1【解析】由S=亍&，得2必=(+1)为,所以2sLi=几-1（，2）,所以 2S-2sH-1=(+(三2),所以 2=(+1)恁_诙_1(三2),即(-1)恁=加/广1(三2),所以=一 an-x nr 7则心2).数歹四是以牛=1为首项的常数歹！J.V.”因止匕an=n.题型三由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件，确定劣的通项公式.(1)的=2,几+i=+l；=诙+1=2+3；n1 一 _|_ 斯;(2)的=2,(4)的=3,【解析】(1)(累加法)+i=+l,2=i+2,的=2+3,，anTl(Tl 1)=-1+(三2),以上一1 个式子相加，得。=。1+2+3+=5+n2+n+2.t tx./+21=5.i=2也付b上式，故an=5.n(2)(累乘法)&+1=马=2,九，Clfi/0 9斯+1_nan+1当三2时,an 12 an=a一i a一2 一3“3 a2产n 1 n2 13-n n-l n2231?2义5义2=5.1=2也符合上式，故an=.乙 f 1/f 1/(3)(构造新数列法)由题意知恁0,设递推公式&+产2诙+3可以转化为+i+%=2(诙+。，即四+1=2+/=/=3.故递推公式为+i+3=2(+3),令 bn=an+3,则勾0,仇=的+3=4,且针=2所以勾是以4为首项，2为 n I J公比的等比数列，则为=4X2t=2i,所以斯=比+13.(4)(构造新数列法)由题意知恁0且为W1,将斯+i=/两边取常用对数，得 1g斯+i=21g斯,即名尸=2,所以数列1g斯是以1g 3为首项,公比为2的等比 数列.1g斯=坨的 2t=2t lg3,即斯=32t.|2 2【答案】(1)斯=-5(2)an=(3M=2n+1-3(4)恁=32t乙 f 1/状元笔记已知数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)当出现为=诙一1+式几)时，用累加法求解.(2)当出现.=A)时，用累乘法求解.斯-1(3)当出现诙=mi+y时，构造等比数列.繇思考题2(1)(2022河北衡水模拟)数列诙中，句=ln2,/1=斯+111空，C I乙则通项 a.=Tn(+l).Yl 1【解析】方法一：由题设得为+ia=ln 第，十2、/2 3当三2 时，。“=1+(。2-。1)+(3-。2)+(。1)=-In 2+1115+1114+3+足后二心洛乂乂品卜!占=In(+1).当=1时，见=一1口 2也满足上式.故恁=一1口(+1).yi 1 _方法二：因为In F=ln(+1)ln(+2),所以本题也可借助该公式化简计算./L I 乙(2)设数列为是首项为1的正项数列，且(+1)+12 几&2+恁十为=10(n eN*),则它的通项公式是。=一【解析】原式可化为(几+1)。+1加以|(即+1+)=0.几+1_H9 an+-I-0,，0=一(G2),逐项相乘，得野=),又。1 CLn-=1,故斯=二.1=1也符合上式，故。=工.2o 7 a 几I不(3)已知数列&满足心=三，斯十1=上告,则数列的通项公式为/I2【解析】由诙+i=T=，尸W知恁wo,两边取倒数得一一；=：,an-r2 3 an+i an 2所以1J是以段为首项，J为公差的等差数列，所以;=|+伽一1)义：=生詈,02 乙 乙 C/lfi 乙 乙 乙_ 2an=n+2,（4）已知数列&中，供=2,即+1=（啦一1）（诙+2）,则数列恁的通项公式为 产啦（也1）+也【解析】因为%+1=（啦一1）（%+2）,所以斯+1啦=（也一1）（%也）.设bn=%a/2,则易知勿WO,且 b+i=（y/1）也,即；i=a/1，又仇=的一y/2=2啦，因此数列小是以啦一1为公比，以2啦为首项的等比数列.所以为=（2啦）X（也一1尸=啦（也一1）。所以&=g（也一1）+隹题型四数列的函数性质例4（1）（2022重庆诊断）设数列诙满足：的=2,+1=9久（0.则数列斯前2 021项的乘积。1。23。2 021=21 12?4=W，%=2,【解析】由 1=2得2=3,3=显然该数列是周期为4的数列.又 1234=1，JSL 2 021=1=2,故12342 0202 021=(1234)505*“2021=2.(2)已知时是递增数列，且对于任意的N*,恁=/+初恒成立，则实数 2的取值范围是(3,+8).【解析】四是递增数列，所以对任意的金N*,都有斯+1斯，即5+1)2+4+1)/+初，整理得 2+1+%0,即丸一(2+1).(*)因为三1,所以一(2+l)W3,要使不等式(*)恒成立，只需3.（3）（2022沧州七校联考）已知数列斯满足时+1而二n（N*），则数列恁的最小项是第 项.M-1-1【解析】方法一：因为恁=京，所以数列的最小项必小于3即J f 1/JL Jn+13一 160,所以 3-160,从而163,所以当取最大值5时，斯的值最小.方法二:1 3n+3 if 19 3义3一16 3-16,9当3一16Vo时，为递减，且。0时，诙也递减，且诙 0.综上，=5时，。最小.状元笔记解决数列的单调性问题的方法(1)用作差比较法，根据恁+1四的符号判断数列恁是递增数列、递减数列 还是常数列；(2)用作商比较法，根据誓(为0或诙0)与1的大小关系进行判断；(3)结合相应函数的图象直观判断.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.雄思考题3（1）（2022湖南衡阳一中月考）若数列斯满足供=2,斯+1斯=恁一1，则6Z2021的值为（B）A.-1 B.JC.2 D.3【解析】因为数列/满足6/1=2,an+1an=anl,所以=；，所 以2=，3=12=1,614=1+1=2,可知数列有周期性，且周期为3.而2 021=3 义 673+2,所以2 021=2=5,故选 B.(2)已知数列斯的通项a=O+l)，|ON*),试问该数列a/有没有最大 项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【思路】为是的函数，难点在于斯是一个一次函数伽+1)与一个指数函 数当卜的积.所以从一次函数或指数函数增减性看，一增一减积不确定,但 N*,不妨从比较为与诙+1的大小入手.【斛析】四+1一九一(九十2)uj(“十一川 a,当。，即+1。；当 n=9 时，ctn=O9 即 a+i=a；当 9 时，诙+1。，即%+i1两种情况，最后看二者是否统课外阅读构造新数列求通项公式的解题技巧例1在数列诙中,心=-1,研i=2a+4.3T,求通项公式.【解析】方法一：原递推式可化为为+1+23=2（诙+23 1）.比较系数得=4,所以&+143=2（恁一43-1）.则数歹U斯一43T是一个等比数列，其首项是为一4义3-1=5,公比是2.，州一43t=52一、即恁=43T 52t.方法二：将4rH=2为+43-1的两边同除以3i,4n%+i_2 an.4 a 7 _ 得TT=W*下十%，令勾=34-9+-2-3贝I)+4 2 4易知为设bn+k=(bnk)9比较系数得k=一彳，则23-3-e4|S 2为一事是以一为首项，(为公比的等比数列.Jbn?=W 3 n 1，贝！JW .-an=3n,bn=4-3n 1-5-2【答案】a=4-3T52T【探究】（1）形如an+i=aan+/3的递推式可用构造法求通项，构造法的基本 原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加 上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列.（2）本题的递推公式是an+1=aan+/7的推广式an+i=aan+/3Xyn,两边同时除 以严后得到号4十转化为勿+1=屹+9的形式，通过构造公比 a B是亍的等比数歹略一）（1，）1求解例2（2021.新高考八省模拟演练）已知各项都为正数的数列恁满足研2=（1）证明:数歹！为等比数列;1 3（2）若1=5，612=5求的通项公式【解析】（1）证明：由几+2=2+1+3许可得斯+2+1=3为+1+3诙=3（即+1+%）,因为斯各项都为正数,所以诙+10,所以斯+斯+J是公比为3的 等比数列.(2)方法一：构造为+23。+1=%(+1 整理得 斯+2=(%+3)。+13kan=2an+1+3为，所以 k=l,即几+2-3斯+1=(+3。)，、1 3、因为 1=2，2=，所以2 3i=。，的32=。，几+1 3=。，即+1=3恁，所以四是以为首项，3为公比的等比数列.所以为=三.方法二：由(1)易知诙+i+出=23“t,两边除以3/1,再移项配凑得引一卜一翳 J,又,一t=0,故即_90,3场得 an=2.3 3-p方法三：由(1)易知。+1+。=23-1,贝!J 为+1,=一 anY，3t/3所以 an 2=(1)12=所以 an=2,3几一【答案】(1)见解析(2)为-乙常思考题 已知正项数列斯中，勾=2,恁+1=2斯+3*5，则数列斯的 通项斯=(D)A.3X2t B.3X2TC.5+3义2”一1 D.53义2一1【解析】方法一:在递推公式。+1=2斯+3*5的两边同时除以5+1得都等等+|,令儿=、，则式变为一+1=14+|，即勿+L1=(勿一1)，一l=g1=_33 2所以数列一1是等比数列，其首项为一g公比为W所以yH W1即i-HlP，所以1=1|x同T=1等二 故。=53义2一1.方法二：设 an+1+kX5n=2（an-kX5n）,则“+i=2一3kX5”,与题中递 推公式比较得k=-l,即期+1 5/1=2（即一5），又的一5=3,所以数歹（。5是首项为一3,公比为2的等比数歹!J,则为一5=3X2t,故为=5一3义2 t.故选D.请做：题组层级快练（三十二）衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航 ooooeeeeo o oo01|课前自助餐 回授人以渔 03 课外阅读第禧时等差数列复习要求1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前项和 公式3了解等差数列与一次函数的关系.课前自助餐【回归教材】1等差数列的基本概念(1)定义：数歹也以1满足当一2时册一册一尸或是常数),则称数列&为等差数歹(J.(2)通项公式：以=%+(l)d=一+(L 哨 d(加,N*).na i+d(1+魅)几(3)前项和公式：Sn=?.(4)61,6的等差中项为22等差数列的常用性质等差数列恁中，(1)若 mi+miH-几左，贝U Q%l+a帆2 VamartA-an2H-arik.特另ll地，若m+n=p+q,则+以=%十%.*1*(2)S2n-1=(2n 1)6zn(neN).一十1 1(3)n为奇数时，Snna S.=?Q中，S偶=2 a中，S奇S偶=。中.nd(4)m为偶数时，S偶一S奇=了.(5)若公差为d,依次上项的和项，5”不S3S2k，成等差数列，则新公 差d=Rd.(6)冏为等差数列.等差数列的增减性与最值公差d 0时为递增数列，且当勾0时，前项和工有最，二值；公差d 40X60,整理得/+3一4800.设犬)=2+3 480(hEN*),则加i)为增函数，因为火20)0,所以他恰好读完红楼梦共需要21天，故他恰好读完红楼梦的日期为2021年11月9日.5.（2020课标全国n,文）记出为等差数列的前项和.若1=2,。2+。6=2,则 Sio=25,解析 方法一：设等差数列斯的公差为d,则由2+。6=2,得i+d+i+5d=2,即一4+6d=2,解得 d=l,所以 Si（）=10X（2）+应当6),贝U n=18：a+a=36【解析】由题意知|-6=36,为+斯-1+-2+5=180,+得P(6+-5)=6(1+恣)=216,所以i+=36,又 S=324,所以 18几=324,所以=18.因为 1+。=36,=18,所以 i+i8=36,9+10=1+18=36.(2)在等差数列恁中，&=30,S2m=100,则S3m二210【解析】记数列的前n项和为S,由等差数列前项和的性质知Sm,S2mSm,S3m S2加成等差数列，贝U 2(S2m 5m)=Sm(S3m S2m).又 Sm=30,S2m=100?S2mSm=100 30=70,2m=2(52m Sm)Sm=110?Ssm=110+100=210.等差数列四共有63项，且跖=36,求S奇和S偶.4【解析】由S63=36,得63,32=36.32=.S 奇=3232=32X4 1287 7，4 124S偶=31Q32=31 X y=.【答案】5奇=128124S偶=77，(4)设为等差数列，出为数列的前项和，已知&=7,Si5=75,Tn为数列;可的前项和，求 f 1/【解析】方法一：设等差数列斯的公差为d,首项为5，则Sn=nax+n(nl)d.VS7=7,5i5=75,7i+21d=7,i+3d=1,=2,1 艮解得 15i+105d=75,i+7d=5,d=l.l)d=2+/(一1).r1A=rB=.数歹（J图是等差数列，其首项为一2,公差为卷.，C J 乙 方法二：设必=4?+3小,:S=7,515=75,a 152+815=75,解得 c _1 2_5&_1 _5.Snn 2n,n 2n 2,下同方法一.【答案】=%?上状元笔记等差数列和的性质在等差数列斯中，S为其前项和，则：数列%，s2m-sm,也以一S2%,也是等差数列.(2榭也为等差数列.(3)S2=(i+a2)=(+。+1)(421=(2 l)an.(5)若为偶数，则S偶一5奇=华；若为奇数，则S奇一S偶=中(中间项).睡思考题3设工是等差数列恁的前项和，若卜/则备=(AA 焉 B.1 6-clD.；【解析】令S3=l,则S6=3,，S9=l+2+3=6.Si2=S9+4=10,而.故选 A.012 10(2)已知Sn是等差数列斯的刖n项和，若。1=2 020,S2021 S20152 021 2 015=6,则S2023等于(0)A.2 023C.4 046B.-2 023D.-4 046【解析】由等差数列的性质可得;l也为等差数列，设其公差为d,.A02L_01L=6,6 d=l*2 021 2 015 9*s s故7=才+2 022d=-2 020+2 022=2.乙 J JL52 023=2X2023=4 046.(3)已知等差数列恁的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有 偶数项之和为25,则这个数列的项数为(人)A.10 B.20C.30 D.40【解析】设这个数列有2项，则由等差数列的性质可知偶数项之和减去 奇数项之和等于d,即25 15=2，故2=10,即该数列的项数为10.微专题3：最值问题例4等差数列诙的首项i 0,设其前项和为S，且85=812，则当为何值时，必有最大值?【解析】方法一：由题意知d0,因为设人犬）=尹2+6Z1-X,则函数y=火%)的图象如图所示，(Q一由S5=S12知，抛物线的对称轴为九=5+12 17d2 2 由图可知，当时，S单调递增；当三9时，S单调递减，且S8=S9.又一N*,所以当=8或9时，S有最大值.方法二：设等差数列的公差为d,由85=812得5i+10d=12ai+66d,d=一年10.n(n1)则 Sn=nai+2 d=naX-vn(一 1)21-8-zr L(17h,289因为为0,金N*,所以当=8或9时，有最大值.方法三：由方法二得d=1的0.O设此数列的前项和最大，则a会0,+0，(-1)一三0,即。+1=。1+,-W。,解得W9,28,即 8WW9,又金N*,所以当=8或9时，色有最大值.方法四：由方法二得d=京10,Sk)=S2o，则下列结论错误的是(口)A.d 0B.。16C.SWSi5D.当且仅当三32时，Sn0,2i+29d=0,，d0,，A 正确；又 Vt Zn+20=15+16=0,且 d 0,61150？16 C 正确;VS3030(1+的0)=15(。11+。20)=0,且 d 0,当且仅当三31 时，S题。，且S为数列&的刖项和，则使得幺0的的最小值为(B)A.23 B.24C.25D.26【解析】因为的20，则公差0，又的31的2|，所以12+的3-24(1+24),23(1+23)。，贝！J 24=9=2(2+13)。，23=5=2312。，2525(1+25)2=25130，所以使得80的的最小值为24.【探究】若诙是等差数列，求前项和的最值时,三0,Q+0 9若Qi 0,d 0,且满足则前项和乱最大;若Qi0,且满足，为W0,a 及+1 0,则前项和S”最小;除上面方法外，还可将的前项和的最值问题看作S关于 的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解;还可以利用S与的函数关系，进行求导来求最值.(3)在等差数列中，的=7,公差为d,前项和为S，当且仅当=8时 s取得最大值，则d的取值范围为I】一.【解析】先根据条件确定等差数列中特定项的符号，再利用不等式组求解.当且仅当=8时，S有最大值，说明8。，、9 0,7+8d0,7解得一ldR,的取值范围为一1，一 O718)题型三等差数列的判定例5(1)若数列为的前项和为S，且满足斯+2S-i=0(G2),求证：是等差数列；求数列恁的通项公式.【解析】证明：当三2时，由+2S石一1=0,得S一1=2SS01 i i i所以三一=2.又=5=2,品-1 3故;是首项为2,公差为2的等差数列.由可得不=2，S=石.当与2 时an=Sn-Sn-1=n-2(n_x)=2n(n_x)1_(一1)当=1时，不满足上式.2?=1，故 an=2n(-1)22.【答案】证明见解析恁=1V=1,In(-1)三2(2)已知数列中，为=2,斯=2一一(三2,且N*),设1 C1rl 1求证：数列勾是等差数列；求的通项公式.【解析】证明：因为斯=2一一,斯一1所以1=2；一 1 1 1所以 bn+i-bn=-77=i。勿+1 1，2_a所以与是首项为仇=占=1,公差为1的等差数列.由得为=，即 所以的通项公式为恁=i+).【答案】证明略为=1+；11状元笔记等差数列的四种判断方法(1)定义法：。+1斯=d(d是常数)0。是等差数列.(2)等差中项法：2an+i=ana+2(N+)=斯是等差数列.(3)通项公式法：an=pn-q(p,g为常数)。恁是等差数列.(4)利用前项和公式：Sn=An-Bn(A,5为常数)0斯是等差数列.注：(1)(2)常用来证明恁为等差数列；(3)(4)可用于在选择、填空题中的简 单判断.W 思考题5已知数列诙满足1=1,且nan+1 (n+1=In+In.(1)求助，的；证明：数歹！是等差数列，并求斯的通项公式.，1/X.-Z【解析】(1)由已知，得该一2m=4,则 2=2i+4,又1=1,所以 2=6.由 2%32=12,得 2%=12+3a2,所以的=15.(2)证明：由已知几+1 (加+1)=2几(+1),得几(+1)诙 n(+1)=2,即幺詈纭=+1 n所以数列;是首项为?=1，公差为d=2的等差数列.ft J则皆=1+2(-1)=2-1,所以 an=2nn.【答案】(1)2=6,的=15(2)证明见解析，an=2n-n本课总结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这 两点.2.等差数列中，已知五个元素的，an,n,d,S中的任意三个，便可求出 其余两个.3.证明数列册是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明为一斯i(N2)为常数；(2)利用等差中项，即证明2=斯一1+为+1(几三2).4.等差数列斯中,当为 0时，数列&为递增数列，S”有最小值；当的0,d0,求使得乂与恁的的取值范围.答案(1)恁=102(2)n|ln0知d。，6in+i=7|，知 q0.右 an+an9 则即 1 X I+1 0?又i 0,故01 2,27；=3X22+5X23H-(-(2n-l)-2n+(2n+l)-2w+1,两式相减得一=3 2+i=-2-(2n-l)2n+1,，7；=(2一 1)2+I+2.【答案】(1)见解析(2)T=(2一l)2/i+2课外阅读用倒序相加法求和%(1)(11例1设危)=在?，求后5司+后面-MD+/(2)H-f(2 022).【解析】:危)=3,而)+的=1.1 1 1)令3=后6刃+西利+火1)+火2犬2022).又5=火2 022)+八2 021)+火1)十句+石、022,.4 043+，得 2s=1X4 043=4 043,所以 S=-【答案】4 043T【探究】如果一个数列斯与首末两项等距离的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一 求和方法称为倒序相加法.例2若加;)+1_%)=4,诙=八0)+/+十+yQ)(N*),则数列 四的通项公式为2M+1).请做：专题层级快练（三十五）衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航 ooooeeo o oo专题讲解专题研究二数列的综合应用专题讲解题型一等差、等比数列的综合例1(2022.沧衡八校联盟)等差数列斯(金N*)中，为，a?，的分别是如表 所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的。2,的组合，并求数列的通项公式；(2)记(1)中您选择的四的前项和为S,判断是否存在正整数左，使得外,四，S/2成等比数列，若有，请求出女的值；若没有，请说明理由.【解析】(1)由题意可知，有两种组合满足条件.1=8,a2=12,的=16,此时等差数列诙中，1=8,公差1=4,所以数列斯的通项公式为为=4八+4.1=2,2=4,的=6,此时等差数列恁中，(21=2,公差d=2,所以数 列四的通项公式为an=2n.(2)若选择，则S=2/+6%则及+2=2(%+2)2+6(%+2)=22+14+20.若为，做，S左+2成等比数列，则a/=cii Sk+2,即(4%+4)2=8(2F+14Z+20),整理得 F+2Z+1=+7%+1(),即 5%=9.此方程无正整数解，故不存在正整数上使 1，利，S/2成等比数歹(J.若选择，则S=/+，则 Sq2=(Z+2)2+(%+2)=F+5%+6若为，为，S左+2成等比数列，则*Sk+2,即(2%)2=2(F+5%+6),整理得 F5%6=0,因为上为正整数，所以=6.故存在正整数%(4=6),使得的，ak,&+2成等比数列.【答案】(1)见解析(2)见解析状元笔记高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，两者之间相互联系、相互转化，破解这类问题的关键是寻找通项公式.繇思考题1(2020课标全国ni)设等比数列见满足见+勿=4,的一“1=8.(1)求的通项公式；(2)记S1为数列log3。/的前几项和.若S“+Sm+i=Sm+3，求加.【解析】(1)设。的公比为私 则恁=iqT.因为i+2=4,%一1=8,所以4,一=8.解得=1,q=3.所以的通项公式为斯=3t.(2)由(1)知 log3tzn=n-l.所以数列log3是首项为0，公差为1的等差数列，因此Sn(一1)n2由+Sm-I 51m+39得 m(m 1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即 m25m6=0.解得m=6或%=1(舍去).所以加的值为6.【答案】(1)%=3t(2)6题型二数列与函数的综合例2(2022.成都七中模拟)已知函数危尸,cos nx-sin兀%(%R)的所 有正的零点构成递增数列a/S&N*).(1)求数列斯的通项公式；1 2 一(2)设勿=(5)(即+与)，求数列儿的前n项和Tn.【解析】(1(%)=/c os%sin 以=2cos(以x+不)，jt ji由题意令以l+不=上以+(ez),解得尤=%+:(左Z).又函数兀0的所有正的零点构成递增数列为卜所以四是首项为的=,公差为d=l的等差数列，1 2因此 an=(n1)X 1+彳=(nN).1?(2)由知 为=()(+)=，则 7；=lX(1)1+2X(1)2+3X(1)3+-+(n-1 1i）x（5）“t+x（），1 9=1X21+(-1)X(；)+X(；)+1,由一得n3(14n+22222+l=1-2n+1 9LLr、l +2所以 Tn=2-2 2【答案】必=-w（6N*）(2)2n22n状元笔记数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量“，a”,S,等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的 递推关系.(2)数列的项或前项和可以看作关于的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.思考题2（2022河北武邑中学月考）设数列斯满足6/1=1,2+。4=6,JT且对任意的 N*，函数危）=（。一为+1+诙+2）%+诙+icos a+2sin不满足=0.若cn=，求数列金的前n项和Sn.O n 1【解析】因为人犬）=（一/1+诙+2）尤+iCOS%一&+2sin%,所以/(x)=anan+1+an+2+1 sin 尤-6zH+2cos%.又因为广(jiX=0,即 an-即+i+2+isin 工-2cosJ I2+1+a+2 +1=0,所以2恁+1=四+2,所以数列为等差数歹！L根据等差数列的性质得 2+4=23=6,所以的=3.又因为的=1,所以数列四的公差d=f=l,A所以数列恁的通项公式为an=n.斫以 _ 1 _ 1 _ 1Cn an an+i n(+l)+i n i n 4/?2=2，为为等比数列，4=。1+2,岳=奥+4这三个条件中任选一个，补 充在下面的问题中，并作答.已知数列小满足与+墨+墨+*=/(N*),数列4满足，乙 乙 乙 乙必为数列的前项和，是否存在正整数%,使得见22 020成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.-2+*+3-3。一 2+-2-2 一 2+-生2 由-nQ 2+3-3。一 2+-2-2 一 2+为2 得 可两式相减可得字=(-1)2=2-1,所以恁=(2-1)252),当-H G-2+3-3“一 2+-2-2G-2+-&2 由 时，可得 1=2,满足=(2-所以产(2l1)2.若选，可得仇=2,岳=4,所以。=2,此时台=2-1,n可得 S=l+3+5+(2加-1)=几2,由 S=/22020,可得245(N*),所以存在正整数左满足条件，上的最小值为45.若选，可得仇=1,岳=3,所以为=2-1,此时言=2，可得当=2/i2,由S22 020,可得210,所以存在正整数左满足条件，左的最小值为10.2 1若选，可得仇=4,岳=16,所以乩=4，此时卷=下，2n-3 2n1十 2 所以 s=g+W+京+,两式相减得-F乙 乙 乙 乙1 2n1 3 2+32-1 2+1 2 2+1 rt I 2+3则S=3一下一(八+2)+1W3,得 An+2)2+J=2n+5”对任意N*恒成立，而火)=2/+5在N*时单调递增，所以A)min=Al)=7.【答案】(1)为=2+1(2)2 60%,即一*n59 则 10 n29 所以“0g 91)=l-21g36.572 L所以至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%.9Wr（3）7状元笔记现实生活中数列问题的模型极为广泛，如种群的生长和消亡，人们生活的收 入与支出等.解决此类问题的途径有两种：一是逐项列举前几项，寻求规律，满 足某种数列；二是寻求任意前后两项间关系式，转化为递推式问题.整思考题4某企业为了适应市场需求，计划从2022年元月起，在每月固 定投资5万元的基础上，元月追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前 几个月投资额总和的20%,但每月追加部分最高限额为10万元.记第八个月的 投资额为&万元.(1)求an关于n的关系式；(2)预计2022年全年共需投资多少万元？(精确到0.01,参考数据：1.25-2.49)【解析】（1）设前个月投资总额为S,则当介2时，&=5+&1，所以恁+1=5+3.两式相减，得即+i一斯=5（S一Sn-i）=an9 所以 an+i=an.1 36又因为=2=5+mi=5，二匚 a 36 一2 一（、/）一1（所以 an 义15）一 6 义15）（几2）.又因为W15,所以 6XL2tW15,所以一1W5,所以W6.11,=1,所以=6XL2“t,2WW6,15,27.(2)由得，2022年全年的投资额是中数列恁的前12项和，所以Si2=+(勿+6)+(7+12)=11+6 X(1.2+1.25)+6X15=101+6X1.2X(1.25 1)1.2-1心154.64（万元）.所以预计2022年全年共需投资154.64万元.11,九=1,【答案】恁=6义1,2口 20W6,(2)154.6415,心7V.