高考数学一轮复习 新课标版 文科 第6章 数列.pdf
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1、弟八早数列课内导航 ooooeeeo o oo0102课外阅读课前自助餐授人以渔第棵时数列的概念及简单表示复习要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公 式)2掌握利用递推公式求数列通项的方法.课前自助餐【回归教材】.数列的概念按照 一定顺序排歹U的一列数叫做数列.数列的通项公式如果数列诙的第n项旦与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来 表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.跖(=1),若已知则.=_q Z3.-一 (三 2).数列与函数数列诙是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,,)到实数集R的函 数,其自变量是序号对应的函数值是数列的第项为,记为&=/().数
2、列 的通项公式是相应函数的解析式,它的图象是一群孤立的点.数列的分类根据数列的项数可分为有穷数列、无穷数列按照数列的每一项随序号变化的情况可分为:递增数列;递减数列;摆动数列;常数列.目递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个式子叫做这个数列的递推公式.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)1,2,1,2是一个数列.相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.一个数列只能有一个通项公式.(4)任何一个数列,不是递增数列就是递减数列.(5)若数列的前项和为工,则对任意N*,都有诙+i=S+i 尾.答案(1)V(2)X(3)X(4)
3、X(5)V2.(课本习题改编)在数列1,1,2,取(C)A.19C.21解析设题中数列为诙,则。1=1 册,%=8+13=21.故选C.3,5,8,13,x,34,55,中,%应B.20D.22,2=1,的=2,观察可得几+2=几+1+13.(高考真题全国卷)数列斯满足四+1=工,恁=2,则=21 Q几解析 由+1=_ 及 8=2,得 2=彳二,解得。7=万;由。7=万,1一6解得6=1;同理可得的=2.由此可得4=123=-,2=2,d=2,-_4.(2022.山东师大附中月考)已知数列诙的前项和为S=f,贝lj%+,C I乙。6=一_-刀士匚 _ o。6+1 4+1 7 5_1用牛折 的
4、十。6一$6-046+2-4 I 28 6 24,5.(2022安徽淮南一模)设乂是数列&的前项和.若见=J,&+i=l则52 021 (B)A 2 017A2B.1009r2019J 2解析在数列四中,D.1 01022=1 1,的=1 一a 3 a2=2,Q.=1。及+1=11斯,则=1-=1以此类推可知,对任意的N*,即+3=斯,即数列斯是以3为周期的周 U3 乙(期数列.又 2021=3X673+2,因此 S202i=673S3+i+2=674S3的=674义万一1+2-2=1 009.故选 B.6.(2022.重庆七校联考)孙子算经记载,中国古代诸侯的等级从低到高 分别为男、子、伯、
5、侯、公,一共五级.现每个等级的诸侯人数分别是1,2,3,4,5,按照如下规则给他们分发一批苹果:同一等级的诸侯所得苹果数依次为 的,2,。3,且满足为+1=四+左(左N*);任一等级诸侯所得苹果数最多的比 高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个.现已知等级为男的诸侯所得苹果数为1,则这批苹果共有(B)A.158 个C.160 个B.159 个D.161个解析 由条件中ak+1=ak+k(k)9可以推算各个等级的诸侯所得的苹果 数.男=1;子*m=2,。2=3;彳白 i=4,。2=5,的=7;彳矣。1=8,。2=9,的=11,6z4=14;公 勾=15,a2=16,6/3=18,a4=21,%=25
6、.因此这批苹果共有 1+5+16+42+95=159(个).故选 B.授人以渔题型一 归纳通项公式(自主学习)例1(1)根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式心一1,7,13,19,;3,5,9,17,33,;5,55,555,5 555,;1,0,0,4,0,0,;【解析】符号可通过(一1)或(一1)1调节,其各项的绝对值的排列规律为:后 面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为恁=(1)(6一5).观察各项的特点:每一项都比2的次嘉多1,所以恁=2+1.将原数列改写为|x%|x99,|x999,易知数列9,99,999,的通项为 10”-1,故原数列的一个通项公式为斯=/
7、101).把原数列改写成;,?,1 1?,,分母依次为b 2,3,,而分123436/o1/_ 1 n+1子1,0,1,0,周期性出现,因此原数列的一个通项公式为诙=-亡-.3 5 7 9将原数列改写为ai 七 匕,对于分子3,5,7,9,,是序号 乙 J JL U JL/的2倍加1,可得分子的通项公式为勿=2+1,对于分母2,5,10,17,,联想到数列1,4,9,16,,即数列,,可得分母的通项公式为金=/+1,故可得原数列的一个通项公式为n十1【答案】为=(1)(6一5)斯=2+1c 5 n 八 1+(I)”2+1 a=g(10 1)an=苏 产.2+(2)(2022.山东荷泽重点高中联
8、考)观察下列图形中小正方形的个数,则第n 个图中的小正方形的个数火)为(A)【解析】由题意可得式1)=2+1;12)=3+2+1;八3)=4+3+2+1;大4)=5+4+3+2+1;火5)=6+5+4+3+2+1;/()=(+1)+(-1)+(几+1)(+2)+1=2状元笔记根据数列的前几项求通项公式时应考虑(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后的特征:把数列的项分成变化的部分和不变的部分.(4)各项的符号特征.题型二由必与斯的关系求通项公式例2已知数列恁的前项和为工,求诙的通项公式.(1)S=2/3;(2)Sn=3n+b.【解析】(1)当=1时,i=Si=-1.当
9、三2 时,an=SnSn-i=(2n2-3n)2(n-I)2_3(n 1)=4n5.Zi也满足此等式,诙=4一5.(2)当三2 时,a=S一S1T=3+一3T5=23t.当=1 时,i=Si=3+A.当6=1时,q=3 1=2,满足诙=23t,恁=23一 当bW 1时,勾=3+4不满足恁=23一123-1 22,3+b,n=l.【答案】(lK=4n-5一 r(2 3-1,几22,当b=T时,。=一当月T时,。产3+几片1状元笔记已知S求&的一般步骤当=1时,由求的值.(2)当三2时,由斯mS”Sli,求得斯的表达式.检验的值是否满足中的表达式,若不满足,则分段表示所(4)写出。的完整表达式.B
10、思考题i3,九=1,2,几22(1)已知&的前n项和为S,满足log2(Sn+l)=n+l,则an【解析】S+l=2+i,S=2+i 1.当n=l时,0=3.当三2 时,u,nSnS-i=2.不满足此等式,.3,n=l,产 2,心 2.(2)设义是数列诙的前项和,已知的=1,.=S/S一 1(22),则S=n_.【解析】依题意得Sn-iSn=S.iS(n22),整理得1;=1伽三2),1 1 1 1 1又2=:=1,则数列不是以1为首项,1为公差的等差数列,因此*=1+5一1)X1=,即 5=二.f 1/(3)设数列的前项和为S,已知国=审 乙%,且0=1,则数列1的通项公式为工2几-1-1【
11、解析】由S=亍&,得2必=(+1)为,所以2sLi=几-1(,2),所以 2S-2sH-1=(+(三2),所以 2=(+1)恁_诙_1(三2),即(-1)恁=加/广1(三2),所以=一 an-x nr 7则心2).数歹四是以牛=1为首项的常数歹!J.V.”因止匕an=n.题型三由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件,确定劣的通项公式.(1)的=2,几+i=+l;=诙+1=2+3;n1 一 _|_ 斯;(2)的=2,(4)的=3,【解析】(1)(累加法)+i=+l,2=i+2,的=2+3,,anTl(Tl 1)=-1+(三2),以上一1 个式子相加,得。=。1+2+3+=5+n2+n+2.t
12、 tx./+21=5.i=2也付b上式,故an=5.n(2)(累乘法)&+1=马=2,九,Clfi/0 9斯+1_nan+1当三2时,an 12 an=a一i a一2 一3“3 a2产n 1 n2 13-n n-l n2231?2义5义2=5.1=2也符合上式,故an=.乙 f 1/f 1/(3)(构造新数列法)由题意知恁0,设递推公式&+产2诙+3可以转化为+i+%=2(诙+。,即四+1=2+/=/=3.故递推公式为+i+3=2(+3),令 bn=an+3,则勾0,仇=的+3=4,且针=2所以勾是以4为首项,2为 n I J公比的等比数列,则为=4X2t=2i,所以斯=比+13.(4)(构造
13、新数列法)由题意知恁0且为W1,将斯+i=/两边取常用对数,得 1g斯+i=21g斯,即名尸=2,所以数列1g斯是以1g 3为首项,公比为2的等比 数列.1g斯=坨的 2t=2t lg3,即斯=32t.|2 2【答案】(1)斯=-5(2)an=(3M=2n+1-3(4)恁=32t乙 f 1/状元笔记已知数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)当出现为=诙一1+式几)时,用累加法求解.(2)当出现.=A)时,用累乘法求解.斯-1(3)当出现诙=mi+y时,构造等比数列.繇思考题2(1)(2022河北衡水模拟)数列诙中,句=ln2,/1=斯+111空,C I乙则通项 a.=Tn(+l).Yl 1【
14、解析】方法一:由题设得为+ia=ln 第,十2、/2 3当三2 时,。“=1+(。2-。1)+(3-。2)+(。1)=-In 2+1115+1114+3+足后二心洛乂乂品卜!占=In(+1).当=1时,见=一1口 2也满足上式.故恁=一1口(+1).yi 1 _方法二:因为In F=ln(+1)ln(+2),所以本题也可借助该公式化简计算./L I 乙(2)设数列为是首项为1的正项数列,且(+1)+12 几&2+恁十为=10(n eN*),则它的通项公式是。=一【解析】原式可化为(几+1)。+1加以|(即+1+)=0.几+1_H9 an+-I-0,,0=一(G2),逐项相乘,得野=),又。1
15、CLn-=1,故斯=二.1=1也符合上式,故。=工.2o 7 a 几I不(3)已知数列&满足心=三,斯十1=上告,则数列的通项公式为/I2【解析】由诙+i=T=,尸W知恁wo,两边取倒数得一一;=:,an-r2 3 an+i an 2所以1J是以段为首项,J为公差的等差数列,所以;=|+伽一1)义:=生詈,02 乙 乙 C/lfi 乙 乙 乙_ 2an=n+2,(4)已知数列&中,供=2,即+1=(啦一1)(诙+2),则数列恁的通项公式为 产啦(也1)+也【解析】因为%+1=(啦一1)(%+2),所以斯+1啦=(也一1)(%也).设bn=%a/2,则易知勿WO,且 b+i=(y/1)也,即;i
16、=a/1,又仇=的一y/2=2啦,因此数列小是以啦一1为公比,以2啦为首项的等比数列.所以为=(2啦)X(也一1尸=啦(也一1)。所以&=g(也一1)+隹题型四数列的函数性质例4(1)(2022重庆诊断)设数列诙满足:的=2,+1=9久(0.则数列斯前2 021项的乘积。1。23。2 021=21 12?4=W,%=2,【解析】由 1=2得2=3,3=显然该数列是周期为4的数列.又 1234=1,JSL 2 021=1=2,故12342 0202 021=(1234)505*“2021=2.(2)已知时是递增数列,且对于任意的N*,恁=/+初恒成立,则实数 2的取值范围是(3,+8).【解析】
17、四是递增数列,所以对任意的金N*,都有斯+1斯,即5+1)2+4+1)/+初,整理得 2+1+%0,即丸一(2+1).(*)因为三1,所以一(2+l)W3,要使不等式(*)恒成立,只需3.(3)(2022沧州七校联考)已知数列斯满足时+1而二n(N*),则数列恁的最小项是第 项.M-1-1【解析】方法一:因为恁=京,所以数列的最小项必小于3即J f 1/JL Jn+13一 160,所以 3-160,从而163,所以当取最大值5时,斯的值最小.方法二:1 3n+3 if 19 3义3一16 3-16,9当3一16Vo时,为递减,且。0时,诙也递减,且诙 0.综上,=5时,。最小.状元笔记解决数列
18、的单调性问题的方法(1)用作差比较法,根据恁+1四的符号判断数列恁是递增数列、递减数列 还是常数列;(2)用作商比较法,根据誓(为0或诙0)与1的大小关系进行判断;(3)结合相应函数的图象直观判断.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.雄思考题3(1)(2022湖南衡阳一中月考)若数列斯满足供=2,斯+1斯=恁一1,则6Z2021的值为(B)A.-1 B.JC.2 D.3【解析】因为数列/满足6/1=2,an+1an=anl,所以=;,所 以2=,3=12=1,614=1+1=2,可知数列有周期性,且周期为3.而2 021=3 义 673+2
19、,所以2 021=2=5,故选 B.(2)已知数列斯的通项a=O+l),|ON*),试问该数列a/有没有最大 项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【思路】为是的函数,难点在于斯是一个一次函数伽+1)与一个指数函 数当卜的积.所以从一次函数或指数函数增减性看,一增一减积不确定,但 N*,不妨从比较为与诙+1的大小入手.【斛析】四+1一九一(九十2)uj(“十一川 a,当。,即+1。;当 n=9 时,ctn=O9 即 a+i=a;当 9 时,诙+1。,即%+i1两种情况,最后看二者是否统课外阅读构造新数列求通项公式的解题技巧例1在数列诙中,心=-1,研i=2a+4.3T,求通项公
20、式.【解析】方法一:原递推式可化为为+1+23=2(诙+23 1).比较系数得=4,所以&+143=2(恁一43-1).则数歹U斯一43T是一个等比数列,其首项是为一4义3-1=5,公比是2.,州一43t=52一、即恁=43T 52t.方法二:将4rH=2为+43-1的两边同除以3i,4n%+i_2 an.4 a 7 _ 得TT=W*下十%,令勾=34-9+-2-3贝I)+4 2 4易知为设bn+k=(bnk)9比较系数得k=一彳,则23-3-e4|S 2为一事是以一为首项,(为公比的等比数列.Jbn?=W 3 n 1,贝!JW .-an=3n,bn=4-3n 1-5-2【答案】a=4-3T5
21、2T【探究】(1)形如an+i=aan+/3的递推式可用构造法求通项,构造法的基本 原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,构造数列的每一项都加 上相同的数或相同性质的量,使之成为等差或等比数列.(2)本题的递推公式是an+1=aan+/7的推广式an+i=aan+/3Xyn,两边同时除 以严后得到号4十转化为勿+1=屹+9的形式,通过构造公比 a B是亍的等比数歹略一)(1,)1求解例2(2021.新高考八省模拟演练)已知各项都为正数的数列恁满足研2=(1)证明:数歹!为等比数列;1 3(2)若1=5,612=5求的通项公式【解析】(1)证明:由几+2=2+1+3许可得斯+2+1=
22、3为+1+3诙=3(即+1+%),因为斯各项都为正数,所以诙+10,所以斯+斯+J是公比为3的 等比数列.(2)方法一:构造为+23。+1=%(+1 整理得 斯+2=(%+3)。+13kan=2an+1+3为,所以 k=l,即几+2-3斯+1=(+3。),、1 3、因为 1=2,2=,所以2 3i=。,的32=。,几+1 3=。,即+1=3恁,所以四是以为首项,3为公比的等比数列.所以为=三.方法二:由(1)易知诙+i+出=23“t,两边除以3/1,再移项配凑得引一卜一翳 J,又,一t=0,故即_90,3场得 an=2.3 3-p方法三:由(1)易知。+1+。=23-1,贝!J 为+1,=一
23、anY,3t/3所以 an 2=(1)12=所以 an=2,3几一【答案】(1)见解析(2)为-乙常思考题 已知正项数列斯中,勾=2,恁+1=2斯+3*5,则数列斯的 通项斯=(D)A.3X2t B.3X2TC.5+3义2”一1 D.53义2一1【解析】方法一:在递推公式。+1=2斯+3*5的两边同时除以5+1得都等等+|,令儿=、,则式变为一+1=14+|,即勿+L1=(勿一1),一l=g1=_33 2所以数列一1是等比数列,其首项为一g公比为W所以yH W1即i-HlP,所以1=1|x同T=1等二 故。=53义2一1.方法二:设 an+1+kX5n=2(an-kX5n),则“+i=2一3k
24、X5”,与题中递 推公式比较得k=-l,即期+1 5/1=2(即一5),又的一5=3,所以数歹(。5是首项为一3,公比为2的等比数歹!J,则为一5=3X2t,故为=5一3义2 t.故选D.请做:题组层级快练(三十二)衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航 ooooeeeeo o oo01|课前自助餐 回授人以渔 03 课外阅读第禧时等差数列复习要求1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前项和 公式3了解等差数列与一次函数的关系.课前自助餐【回归教材】1等差数列的基本概念(1)定义:数歹也以1满足当一2时册一册一尸或是常数),则称数列&为等差数歹(J.(2)通项公式:以=%+(l)d
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