简明电路分析基础11交流动态电路.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第三部分,正弦稳态分析,11,、阻抗与导纳,12,、正弦稳态功率与能量 三相电路,13,、电路的频率响应,14,、耦合电感与理想变压器,15,、双口网络,电路分析基础,课程内容介绍,电路分析基础,第三部分：第,11,章主要内容,正弦稳态电路：,正弦激励下，动态电路的电压、电流为与,激励同频率的正弦波，该电路称为正弦稳态电路。,本章主要内容：,正弦稳态相量表示：,由于稳态响应都是同频率，因此，可,以用相量来表示，用相量来进行分析。,阻抗与导纳：,电阻、电容、电感的伏安关系在相量表示下,转化为与电阻和电导类似的阻抗与导纳。,相量,KCL,与,KVL:,元件的,VAR,用相量表示，而电路必须满,足,KCL,、,KVL,，由此得到了相量表示的,KCL,和,KVL,。,相量电路分析法：,利用第一、二部分电路分析方法，建立,相量表示的电路分析方法,网孔法和节点法。,电路分析基础,第二部分：,7-2 1/5,7-2*,一阶微分方程的求解,设一阶微分方程,（,7-8,）,Ax=Bw,dx,dt,初始条件,（,7-9,）,x(t,0,)=X,0,一、直接积分法,方程式两边同时乘以,e,-At,，整理后得,=e,A,Bw,d,d,e,A,x,两边从,t,0,到,t,对,d,积分得,e,A,t,x(t)=,e,A,t,0,x(,t,0,)+,t,t,0,e,A,Bw d,由此可得,（,7-10,）,x(t)=,e,A(t-,t,0,),x(,t,0,)+,e,A,t,B,t,t,0,e,A,w d,电路分析基础,第二部分：,7-2 2/5,二、猜试法,对解的形式进行猜试后再求解。要点如下：,（一）线性微分方程解的结构,如,(7-8),式所示的非齐次线性微分方程，其通解,x(t),由两部分组成，即,x(t)=x,h,(t)+x,p,(t),（,7-11,）,其中，,x,h,(t),为与,(7-8),式对应的齐次线性微分方程，即,（,7-12,）,Ax=0,dx,dt,的通解；,x,p,(t),为非齐次线性微分方程的一个特解。,（二）齐次方程通解,x,h,(t),的求解,设解为,x,h,(t)=Ke,st,（,7-13,）,代入,(7-12),方程，得,Kse,st,KAe,st,=0,（,7-14,）,电路分析基础,第二部分：,7-2 3/5,两边除以,Ke,st,得,s,A=0,（,7-15,）,(7-15),式称为,特征方程,，其解为,s =A,（,7-16,）,称为微分方程的,特征根,或,固有频率,。因此,x,h,(t)=Ke,At,（,7-17,）,K,为任意常数，可由初始条件确定。,（三）非齐次方程特解,x,p,(t),的求解,应根据输入函数,w(t),的形式假定,x,p,(t),的形式，可按下表进行：,表,7-1,非齐次微分方程,Ax=Bw,的特解形式,dx,dt,电路分析基础,第二部分：,7-2 4/5,输入函数,w(t),的形式,特解,x,p,(t),的形式,Pcosbt,Q,1,sinbt+Q,2,cosbt,P,Q,Pt,Q,0,+Q,1,t,P,0,+P,1,t,Q,0,+Q,1,t,P,0,+P,1,t+P,2,t,2,Q,0,+Q,1,t+Q,2,t,2,Pe,t,(,A),Qe,t,Pe,t,(,=,A),Qte,t,Psinbt,Q,1,sinbt+Q,2,cosbt,表,7-1,非齐次微分方程,Ax=Bw,的特解形式,dx,dt,电路分析基础,第二部分：,7-2 5/5,（四）,x,h,(t),中常数,K,的确定,x(t)=x,h,(t)+x,p,(t)=Ke,At,+x,p,(t),（,7-18,）,若已知初始条件,x(t,0,)=X,0,则由,(7-18),式可得,x(t,0,)=Ke,At,0,+x,p,(t,0,)=X,0,（,7-19,）,由此可确定常数,K,，从而可求得非齐次方程式,(7-8),的解答。,电路分析基础,第二部分：,10-2 1/3,10-2,正弦电压和电流,正弦信号：,一种特殊的,交变,信号,，其变化按照正弦规律进行。更具体地说是,sin,或,cos,函数，一般规定为,cos,函数。,u(t)=U,m,cos(,t+,),（,10-3,）,U,m,振幅,(amplitude),或最大值，单位,V,角频率,(angular frequency),，单位,rad/s,初始相位,(initial phase),，单位,rad,频率与角频率的关系：,我们都知道，,sin,或,cos,变化一个周期，相位改变,360,或,2,弧度,(radian,简称,rad),。一个周期对应经过的时间为,T,，,故有,T=2,，即,2,=,T,=,2,f,（,10-4,）,电路分析基础,第二部分：,10-2 2/3,u(0)=U,m,cos,（,10-5,）,习惯上：,我们将角频率也称为频率，量纲是每秒弧度,(rad/s),，而另外一个量纲为赫兹,(Hz),。所以大家关键要注意,单位量纲,。,关于初始相位：,初始相位是描述最大值出现时，与坐标原点的相位偏移量。也反映了正弦波初始值的大小，即,相位超前与滞后：,若正弦波的最大值先于,t=0,出现，则该,初始相位,为正,，也称为,超前相位,；若正弦波的最大值后于,t=0,出现，则该,初始相位,为负,，也称为,滞后相位,。,初始相位的表示：,初始相位一般简称相位，按照正常表示方法应该用弧度,(rad),表示，但工程上习惯于用度,(),表示。,电路分析基础,第二部分：,10-2 3/3,t,u,ab,T,(a),=0,O,u,ab,O,u,ab,O,(b),0,相位超前,U,m,cos,U,m,cos,(c),0,相位滞后,余弦信号初始相位相对位置图,t,t,电路分析基础,第二部分：,10-3 1/4,10-3,正弦,RC,电路分析,我们现在来求解图,10-11(a),所示,RC,电路在正弦电流作用下的响应,u,C,(t),。该电路的直流响应已在,7-4,节讨论。,I,s,图,7-15,电流源与,RC,电路相连接,C,+,u,C,(t),R,图,10-11,正弦电流源与,RC,电路相连接,i,s,(t),C,+,u,C,(t),R,(a),O,(b),t,i,i,s,(t),i,s,(t)=I,sm,cos(,t+,i,),（,10-4,）,电路分析基础,第二部分：,10-3 2/4,i,s,(t),(t),C,+,u,C,(t),R,+Gu,C,C,du,C,dt,=I,sm,cos(,t+,i,),(t),（,10-9,）,u,C,(0)=0,u,C,(t)=u,Ch,(t)+u,Cp,(t),根据第七章的分析结果可,（,10-9,）式的齐次解相当于,暂态响应,，,为指数衰减的函数，,即,u,Ch,(t)=Ke,t/RC,（,10-10,）,同样，根据表,7-1,可得（,10-9,）式的,特解为,u,Cp,(t)=Q,1,sin,t+Q,2,cos,t=U,Cm,cos(,t+,u,),（,10-11,）,相当于系统的,稳态响应,，,U,Cm,和,u,为待定常数，代入（,10-9,）式，,可得,CU,Cm,sin(,t+,u,)+U,Cm,cos(,t+,u,)/R,=,2,C,2,U,2,Cm,+U,2,Cm,/R,2,cos(,t+,u,+,arctg,RC,),（,10-12,）,电路分析基础,第二部分：,10-3 3/4,=I,sm,cos(,t+,i,),(t),（,10-13,）,根据对应项系数相等的原则，,可得,2,C,2,U,2,Cm,+U,2,Cm,/R,2,=I,sm,（,10-14,）,u,+,arctg,RC=,i,（,10-16,）,2,C,2,+(1/R),2,由此可得,U,Cm,=,I,sm,u,=,i,arctg,RC,（,10-17,）,（,10-15,）,由此可得,u,C,(t)=u,Ch,(t)+u,Cp,(t),=Ke,t/RC,+U,Cm,cos(,t+,u,)t0,（,10-18,）,u,C,(0)=K+U,Cm,cos,u,=0,（,10-19,）,K=u,C,(0),U,Cm,cos,u,=,U,Cm,cos,u,电路分析基础,第二部分：,10-3 4/4,（,1,）（,10-20,）解答式表明，由于特征根为负，因此，第一项,暂态响应,为指数衰减的，即,t,u,Ch,(t)0,。,总结,即,u,C,(t)=,U,Cm,cos,u,e,t/RC,+U,Cm,cos(,t+,u,),t0,（,10-20,）,暂态响应,稳态响应,（,2,）（,10-20,）解答式的第二项为暂态响应结束后的,稳态响应,。,请问：,暂态响应,是怎么来的？！,提示：从电容电压的特性考虑。,电路分析基础,第三部分：第,11,章 目录,第,11,章,阻抗与导纳,1,有效值 有效值相量,5,正弦稳态混联电路分析,2,基尔霍夫定律,6,相量模型的网孔分析法,的相量形式 和节点分析法,3,三种基本电路元件伏,7,相量模型的等效,安关系的相量形式,4,阻抗和导纳相量模型,电路分析基础,第三部分：,11-1 1/6,11-1,有效值 有效值相量,幅度定义：,通过功率等价来定义。设两个相同的电阻,R,分别,用直流电,I,和交流电,i,来供电，若一个周期内,R,上得到,的电能相同，则将交流电,i,的幅度定义为,I,。该幅度称,为交流电,i,的,有效值,（,effective value,）,。,周期信号的表示：,周期电压或电流的瞬时值随时间变化，,但工程上对这种特性不感兴趣，而通过规定一个特定值,来表征其幅度。,有效值的表示：,根据以上定义，有效值可表示为,RI,2,T=R,i,2,d,t,T,0,T,1,或,I=,i,2,d,t,T,0,（,11-1,）,T,1,同理可得,U=,u,2,d,t,T,0,（,11-2,）,电路分析基础,第三部分：,11-1 2/6,T,1,I=,I,2,m,cos,2,(,t+,i,),d,t,T,0,若将,i=I,m,cos(,t+,i,),代入，,则有,T,1,cos(2,t+2,i,)+1,d,t,T,0,=,I,2,m,2,2,=,1,I,m,=0.707I,m,（,11-3,）,2,同理可得,U=,1,U,m,=0.707U,m,（,11-4,）,由此可见：,正弦波的有效值为其振幅的,1 2,。,有效值可以替代振幅，作为正弦量的一个要素。,电路分析基础,第三部分：,11-1 3/6,常识：,我们平时所说的交流电压或电流都是有效值，如,220V,表示日常生活用电的相电压，其振幅为,220,2 =311V,；,有效值,380V,的线电压，其振幅为,537V,。,正弦信号的有效值表示：,i(t)=I,m,cos(,t+,i,)=2 Icos(,t+,i,),u(t)=U,m,cos(,t+,u,)=2 Ucos(,t+,u,),（,11-5,）,正弦信号的有效值相量表示：,有效值还只是表示了正弦信号的,幅度，我们都知道，正弦信号的初始相位也是一个重要的,参数，为此，我们定义,正弦信号的,有效值相量,。,U,m,=U,m,u,=2 U,u,（,11-6,）,U=U,u,（,11-7,）,电路分析基础,第三部分：,11-1 4/6,U,m,=2 U,（,11-8,）,为了区别期间，我们将带下标,m,的相量称为,振幅相量,，没有下标的称为,有效值相量,。以后除非有特别的说明，相量就是指,有效值相量,。,例,11-1,若,i,1,(t)=5cos(314t+60,)A,，,i,2,(t)=,10sin(314t+60,)A,，,i,3,(t)=,4,cos(314t+60,)A,。试写出代表这三个正弦电流的相量，并画出相量图。,解,（,1,）,i,1,(t)=5cos(314t+60,)=Re5e,j60,e,j314t,=Re,2,2,5,e,j60,e,j314t,=Re 2 I,1,e,j314t,A,故得代表电流,i,1,的相量为,I,1,=,2,5,60,=3.54 60,=1.77+j3.07A,电路分析基础,第三部分：,11-1 5/6,该相量也可以由正弦波的有效值和初相位直接写出。,（,2,）,i,2,(t)=,10sin(314t+60,)=10cos(314t+60,+90,)A,直接写出代表,i,2,的相量为,I,2,=,2,10,150,=7.07 150,A,（,3,）,i,3,(t)=,4,cos(314t+60,)=,4,cos(314t+60,180,),=,4,cos(314t,120,)A,直接写出代表,i,3,的相量为,2,4,120,=2.83,120,A,I,3,=,60,150,120,2.83,120,3.54 60,7.07 150,x,jy,电路分析基础,第三部分：,11-1 6/6,例,11-2,已知,U,1,=50,30,V,，,U,2,=,220 150,V,，,f=,50Hz,。试写出它们所代表的正弦电压。,解,由给定的相量可知：,U,1,=50,，,U,1m,=50 2,，,1,=,30,U,2,=220,，,U,2m,=220 2,，,2,=,150,又,=2,f=100,故得,u,1,(t)=50 2 cos(100,t,30,)V,u,2,(t)=,220 2 cos(,100,t+150,)V,电路分析基础,第三部分：第,11,章 目录,第,11,章,阻抗与导纳,1,有效值 有效值相量,5,正弦稳态混联电路分析,2,基尔霍夫定律,6,相量模型的网孔分析法,的相量形式,和节点分析法,3,三种基本电路元件伏,7,相量模型的等效,安关系的相量形式,4,阻抗和导纳相量模型,电路分析基础,第三部分：,11-2 1/3,11-2,基尔霍夫定律的相量形式,KCL,的定义：,任何时刻，流出电路节点的电流代数和为零。,前提条件：,设线性非时变电路在单一频率为,的多个正弦激励下进入稳态，,各处电流电压都是同频率的正弦波。,K K,i,k,(t)=Re,I,km,e,j,t,=0,（,11-9,）,k=1 k=1,根据第,10,章,10-7,节中关于相量运算的三个引理，可得,K K,Re,I,km,e,j,t,=0,，即,I,km,=0,（,11-10,）,k=1 k=1,K,I,k,=0,（,11-11,）,k=1,KCL,的相量形式：,在任何时刻的任一节点上，,KCL,可表示为,电路分析基础,第三部分：,11-2 2/3,K K,Re,U,km,e,j,t,=0,，即,U,km,=0,（,11-12,）,k=1 k=1,KVL,的相量形式：,在任何时刻的任一回路上，采用与,KCL,类似的方法，可以得到,KVL,的相量表达式为,K,U,k,=0,（,11-13,）,k=1,结论：,在正弦稳态电路中，,基尔霍夫定律可直接用,电流相量,和,电压相量,写出,，如式（,11-11,）、（,11-13,）所示；,也可,以直接用,电流振幅相量,和,电压振幅相量,直接写出,，如式,（,11-10,）、（,11-12,）所示。,电路分析基础,第三部分：,11-2 3/3,例,11-3,图,11-2,表示电路中的一个节点，已知,i,1,(t)=10 2 cos(,t+60,)A,，,i,2,(t)=,5 2 sin,t A,，求,i,3,(t),及,I,3,。,i,1,i,2,i,3,解,为了要利用相量形式的,KCL,，首先应写出,i,1,、,i,2,的相量，即,I,1,=10 60,I,2,=5,90,I,1,+I,2,I,3,=0,I,3,=I,1,+I,2,=10 60,+5,90,=5+j8.66,j5=5+j3.66,=6.2 36.2,i,3,(t)=,6.2 2 cos(,t+36.2,)A,电路分析基础,第三部分：第,11,章 目录,第,11,章,阻抗与导纳,1,有效值 有效值相量,5,正弦稳态混联电路分析,2,基尔霍夫定律,6,相量模型的网孔分析法,的相量形式 和节点分析法,3,三种基本电路元件伏,7,相量模型的等效,安关系的相量形式,4,阻抗和导纳相量模型,电路分析基础,第三部分：,11-3 1/5,11-3,三种基本电路元件伏安关系的相量形式,三种元件的伏安关系：,电阻：,u=Ri,（,11-14,）,电容：,i=C,（,11-15,）,du,dt,电感：,u=L,（,11-16,）,di,dt,每个元件上的电压电流可表示为：,i(t)=I,m,cos(,t+,i,)=2 Icos(,t+,i,)=Re(2 Ie,j,t,),（,11-17,）,u(t)=U,m,cos(,t+,u,)=2 Ucos(,t+,u,)=Re(2 Ue,j,t,),（,11-18,）,I=I,i,，,U=U,u,，,电路分析基础,第三部分：,11-3 2/5,电阻元件,VAR,的相量表示：,根据电阻元件,VAR,的表示式，将以上电流电压相量的表达式代入后，可得,Re(2 Ue,j,t,)=R,Re(2 Ie,j,t,)=Re(2 RIe,j,t,),故得,U=RI,，,U=RI,，,u,=,i,电容元件,VAR,的相量表示：,根据电容元件,VAR,的表示式，将以上电流电压相量的表达式代入后，可得,Re(2 Ie,j,t,)=C,故得,I=j,CU,，,I=,C,U,，,i,=,u,+90,d,dt,Re(2 Ue,j,t,),=Re(2 CUde,j,t,/dt)=Re(2 j,C,Ue,j,t,),电容相量,VAR,的最显著特点：,电流相位,超前,电压相位,90,u,i,90,x,jy,I=,C,U,U,电路分析基础,第三部分：,11-3 3/5,电感元件,VAR,的相量表示：,根据电感元件,VAR,的表示式，将以上电流电压相量的表达式代入后，可得,Re(2 Ue,j,t,)=L,故得,U=j,LI,，,U=,L,I,，,u,=,i,+90,d,dt,Re(2 Ie,j,t,),=Re(2 LIde,j,t,/dt)=Re(2 j,L,Ie,j,t,),电感相量,VAR,的最显著特点：,电压相位,超前,电流相位,90,i,u,90,x,jy,U=,L,I,I,例,11-8,图,11-11,所示电路，已知,u(t)=120 2 cos(,1000,t,+,90,)V,，,R=15,，,L=30mH,，,C=83.3,F,，,求,i(t),。,u(t),L,C,i,R,(t),i,L,(t),i,C,(t),+,R,解：,用相量关系求解。,（,a,）,U=120 90,（,b,）对于各元件。,电阻：,I,R,=U/R=,120 90,15,=8 90,=j8 A,电路分析基础,第三部分：,11-3 4/5,u(t),L,C,i,R,(t),i,L,(t),i,C,(t),+,R,电容：,I,C,=j,CU,=1000,83.310,-6,120 90,+,90,=10 180,=10A,电感：,I,L,=,1000,3010,3,90,=4 0,=4A,j,L,U,=,120 90,因此,I=I,R,+I,C,+I,L,=,j8 10+4=6+j8=10 127,i(t)=10 2 cos(,1000,t,+,127,),例,11-9,图,11-13,所示正弦稳态电路中，电流表,A,1,、,A,2,的指示均为有效值,，,求电流表,A,的读数。,u(t),C,+,R,A,A,1,A,2,I,I,1,I,2,解：,根据题意，已经知道电阻和电容支路电流的有效值，求总电流的有效值。用相量关系求解。,设,U=U 0,电路分析基础,第三部分：,11-3 5/5,解法一,计算法。在解题时千万要注意，对于正弦信号,只有,相量,才能,满足,KCL,和,KVL,，因此，单单,有效值并不满足,KCL,、,KVL,，大家务必记住并掌握！。即,A,的读数,10+10=20A,。,如图所示，我们假定,u(t),的相量为,U=U 0,，则,I,1,=,U,R,=,U 0,R,=I,1,0,=10,0,I,2,=j,CU=,CU 90,=,I,2,90,=10 90,=j10,因此,I=I,1,+I,2,=,10+j10=10 2 45,=14.14 45,=,I,45,解法二,相量图解法。假定,u(t),的相量为,U=U 0,，则根据电阻的相量,VAR,形式可知,I,1,与,U,同相，有效值为,10A,；由电容的相量,VAR,形式得,I,2,比,U,超前,90,，有效值也为,10A,。根据几何关系可得总电流,I,的有效值为,I=I,1,2,+I,2,2,=2,10,2,=10 2=14.14A,电路分析基础,第三部分：第,11,章 目录,第,11,章,阻抗与导纳,1,有效值 有效值相量,5,正弦稳态混联电路分析,2,基尔霍夫定律,6,相量模型的网孔分析法,的相量形式 和节点分析法,3,三种基本电路元件伏,7,相量模型的等效,安关系的相量形式,4,阻抗和导纳相量模型,电路分析基础,第三部分：,11-4 1/13,11-4,阻抗和导纳 相量模型,根据三种元件,VAR,的表示式，我们得到了它们的相量的表达式。,电阻：,U=RI U,m,=RI,m,I,j,C,电容：,U=,电感：,U=j,LI,I,m,j,C,U,m,=,U,m,=j,LI,m,阻抗：,正弦稳态,电压相量,与,电流相量,之比,所对应的元件参数称为,该元件的,阻抗,(impedance),，用符号,Z,表示。,即,U,m,I,m,=Z,U,I,=,U=ZI,，,U,m,=ZI,m,欧姆定律的相量形式,Z,R,=R,Z,L,=j,L,Z,C,=,j,C,1,电路分析基础,第三部分：,11-4 2/13,导纳：,阻抗的,倒数,称为,导纳,(admittance),，用符号,Y,表示。,即,正弦稳态,电流相量,与,电压相量,之比,。,U,m,I,m,=Y,I,U,=,I=YU,，,I,m,=YU,m,欧姆定律的相量形式,Y,C,=j,C,Y,L,=,j,L,1,Y=,Z,1,Z=,Y,1,Y,R,=,R,1,Z=R+jX Y=G+jB,阻抗,电,阻,电,抗,导纳,电,导,电,纳,阻抗虚部：,电抗,(reactance),，,导纳虚部：,电纳,(susceptance),。,电路分析基础,第三部分：,11-4 3/13,容抗：,电容的,电抗,，,X,C,感抗：,电感的,电抗,，,X,L,容纳：,电容的,电纳,，,B,C,感纳：,电感的,电纳,，,B,L,容纳：,B,C,=,C,，,容抗：,X,C,=,C,1,感抗：,X,L,=,L,，,感纳：,B,L,=,L,1,正弦稳态电路的串联和并联：,根据以上对耦关系，很容易得到,U=U,1,+U,2,+,+,U,n,=(Z,1,+Z,2,+,+,Z,n,)I=ZI,串联：,Z=Z,1,+Z,2,+,+,Z,n,I=I,1,+I,2,+,+,I,n,=(Y,1,+Y,2,+,+,Y,n,)U=YU,并联：,Y=Y,1,+Y,2,+,+,Y,n,电路分析基础,第三部分：,11-4 4/13,举例：,让我们来分析四个特例，如下图所示。,L,C,R,C,R,L,R,I,U,+,U,+,I,U,+,I,R,U,+,I,(a),(b),(c),(d),(a),这是一个电容和一个电阻串联电路，阻抗为,Z=Z,R,+Z,C,=R+,1,j,C,=R,j,1,C,=,C,arctg,1,R,C,=|Z|,|Z|,Z,x,jy,显然，,0,，当,R=0,时，,=,90,，这种阻抗称为,感性阻抗,；,R,0,(c),这是一个电容和一个电阻并联电路，导纳为,Y=Y,R,+Y,C,=G+j,C,=G,2,+,2,C,2,arctg,C,=|Y|,|Y|,Y,x,jy,显然，,0,，当,G=0,时，,=,90,，这种导纳称为,容性导纳,；,0,G,=,arctg,R,C,R,1+,2,R,2,C,2,电路分析基础,第三部分：,11-4 6/13,显然，,0,，当,G=0,时，,=,90,，,容性阻抗,；,同样,Y,1,Z=,=|Z|,=,arctg,R,C,R,1+,2,R,2,C,2,(d),这是一个电感和一个电阻并联电路，导纳为,Y=Y,R,+Y,L,=G+,1,j,L,=G,j,1,L,=,RL,arctg,L,=|Y|,|Y|,Y,x,jy,显然，,0,，,感性阻抗,。,R,2,+,2,L,2,RL,R,2,+,2,L,2,电路分析基础,第三部分：,11-4 7/13,直流电阻电路 交流稳态电路,（电流电压）标量 （电流电压）相量,电阻与电导 阻抗与导纳,KCL,、,KVL,相量,KCL,、,KVL,欧姆定律 相量欧姆定律,网孔法、节点法 相量网孔法、相量节点法,割集法、回路法 相量割集法、相量回路法,戴维南、诺顿 相量戴维南、相量诺顿,电路分析基础,第三部分：,11-4 8/13,例,11-10,图,11-16,所示,RLC,串联电路中，已知,u,s,(t)=2 U,s,cos(,t,+,u,),，试,求稳态电流,i(t),。,解：,根据,KVL,，串联电路电压相量关系可表示为,U,s,=U,s,u,U,s,=U,R,+U,C,+U,L,=(Z,R,+Z,L,+,Z,C,)I=ZI,由此可得,I=,U,s,Z,=,Z,R,+Z,L,+,Z,C,U,s,=,R+j,L,+,U,s,u,1,j,C,=,R+j(,L,U,s,u,1,C,),=,U,s,R,2,+(,L,1,C,),2,u,arctg,1,C,),(,L,R,=I,i,i(t)=2 I cos(,t+,i,),I,i,电路相量模型：,用元件及激励的相量表示方法来描述电路所得到的电路模型称为相量模型。分析方法如上描述。,电路分析基础,第三部分：,11-4 9/13,Z=Z,R,+Z,L,+,Z,C,=,R+j,L,+,1,j,C,=,R,2,+(,L,1,C,),2,arctg,1,C,),(,L,R,arctg,1,C,),(,L,R,=,u,i,=,为阻抗,Z,的幅角，又称,阻抗角,。,根据以上分析结论可知：,(1),当,0,时，,Z,为感性阻抗；,(2),当,0,，,0,arctg,1,R,C,R,2,+,1,2,C,2,Y,a,=,1,=|Y|,1,+,2,R,2,C,2,arctg,1,R,C,C,=,0,C,Y,c,=Y,R,+Y,C,=G+j,C,=G,2,+,2,C,2,arctg,=|Y|,G,=,arctg,R,C,R,1+,2,R,2,C,2,Z,c,=,1,+,2,R,2,C,2,R,arctg,R,C,=|Z|,0,，,0,电路分析基础,第三部分：,11-5 4/11,=G,2,+,1,2,L,2,arctg,L,R,R,2,+,2,L,2,Y,d,=Y,R,+Y,L,=G+,1,j,L,=,1,L,=|Y|,=|Z|,j,R,1,=,arctg,L,R,R,2,+,2,L,2,LR,Z,d,=,arctg,L,R,LR,0,例,11-13,图,11-25,表示电路，已知,u,s,(t)=40 2 cos,3000,t V,，求,i(t),、,i,C,(t),、,i,L,(t),。,解,写出已知正弦量的相量,U,s,=40 0,V,作相量模型如右图所示。,u,s,(t),H,i(t),i,L,(t),i,C,(t),+,3,1,F,6,1,1k,1.5k,U,s,+,j1k,j,2k,1k,1.5k,I,I,L,I,C,a,b,电路分析基础,第三部分：,11-5 5/11,其中,Z,L,=j,L=j3000,1,3,=j1k,Z,C,=,j,1,C,=,j,1,6,3000,10,6,1,=,j2k,Z=1.5+Z,ab,=1.5+,由此可得,j1+1,j2,(j1)(1,j2),=1.5+,1,j1,2,+,j1,=2+j1.5,=2.5 36.9,I =,40 0,U,s,Z,=,2.5 36.9,=16,36.9,mA,由分流公式可得,I,C,=,I,j1,j1+1,j2,I,j1,1,j1,=,I,j1(1,+,j1),=,2,=I(,0.5,+,j0.5),=16,36.9,0.707,135,=11.31 98.1,mA,电路分析基础,第三部分：,11-5 6/11,由分流公式可得,I,L,=,I,j1+1,j2,=16,36.9,1.58,18.4,=25.28 55.3,mA,1,j2,0,I,C,I,L,I,x,jy,各相量对应的 正弦量为,i(t)=16 2 cos(3000t,36.9,)mA,i,C,(t)=11.31 2 cos(3000t,+,98.1,)mA,i,L,(t)=25.28 2 cos(3000t,55.3,)mA,例,11-14,图,11-27,所示电路，已知,u,s,(t)=2 U,s,cos,t V,，求,u,o,(t),，求输出电压,u,o,(t),和,u,s,(t),的相位关系。,解法一,已知量的相量为,U,s,=U,s,0,V,作相量模型如右图所示。,R,U,s,+,U,o,+,C,R,+,+,u,s,(t),u,o,(t),1,j,C,电路分析基础,第三部分：,11-5 7/11,解法二,用相量图解。设电路电流为,I,=I,i,A,，根据电阻和电容元件的相量欧姆定律：电阻电压即输出电压,U,o,与电流同相，幅度为,RI,；电容电压,U,C,相位滞后电流,90,，幅度为,I/,C,I,U,o,U,C,U,s,x,jy,U,o,=,U,s,R,Rj,C,1,=U,s,R,C,1+,2,R,2,C,2,arctg,1,R,C,=U,o,U,o,=,RC,arctg,1,R,C,o,o,=,即相位差,=,o,s,=,arctg,1,R,C,1+,2,R,2,C,2,U,s,电路分析基础,第三部分：,11-5 8/11,由此可得,tg =,U,C,U,o,=,I,C,RI,=,1,R,C,即,=arctg,1,R,C,R,U,s,+,U,1,+,1,j,C,+,U,2,I,例,11-15,求图,11-30,所示相量模型中,U,1,和,U,2,的相位关系。,U,1,=RI=RI,i,V,解法一,U,2,=,(,j,)I=90,I,i,1,C,C,1,=,I,C,90,+,i,V,即,=,2,1,=,90,I,U,2,U,1,=,90,x,jy,0,解法二,用相量图解。相量图如右，切记，由于电容电压电流参考方向不一致，因此，相量欧姆定律有负号，由此变成电容电压超前电流,90,。即,=,2,1,=,90,电路分析基础,第三部分：,11-5 9/11,举例,麦克斯韦尔平衡电桥。,显然，如果图中,5,个元件为电阻，那么这就是惠更斯电桥。平衡条件：,R,1,:,R,3,=,R,2,:,R,4,，或,R,1,R,4,=,R,2,R,3,。物理意义是,R,5,两端等电位，,即,u,5,=0,，,u,3,=u,4,，,R,1,+,R,3,R,3,u,s,=,R,2,+,R,4,R,4,u,s,+,u,s,Z,1,Z,2,Z,3,Z,4,Z,5,U,s,I,1,I,2,对于本题，情况也类似，所不同的是所有参量均为复数，特别是电流电压等物理量需用相量表示。,平衡物理意义为：,U,5,=0,，,U,3,=U,4,，,Z,1,+,Z,3,Z,3,U,s,=,Z,2,+,Z,4,Z,4,U,s,平衡条件：,Z,1,:,Z,3,=,Z,2,:,Z,4,，,或,Z,1,Z,4,=,Z,2,Z,3,。,下面在回到本章例,11-17,的求解上来。,电路分析基础,第三部分：,11-5 10/11,例,11-17,求图,11-33,所示移相电路常用于雷达指示器电路中，可调电阻,r,中点接地。试证明在正弦电压,u,s,的作用下，若,R=1/,C,，则正弦电压,u,1,、,u,2,、,u,3,和,u,4,的有效值相等，相位依次相差,90,。,解,相量模型如右图所示，显然，,1,、,2,、,3,、,4,四个节点构成一个电桥，若,R=1/,C,，,则有,|Z,12,|,=|Z,23,|=,|Z,14,|,=|Z,43,|,C,1,=R,=,R,U,s,+,U,1,1,j,C,U,3,2,1,R,1,j,C,U,2,U,4,3,4,r,g,U,1,=U,1g,=,U,s,2,1,U,s,0,V,2,1,=,U,3,=U,3g,=,U,s,2,1,U,s,180,V,2,1,=,U,2,=U,2g,=U,23,+U,3g,=,Z,23,Z,12,+Z,23,U,s,U,s,2,1,电路分析基础,第三部分：,11-5 11/11,1,C,=,U,s,90,V,2,1,=,U,2,=,R,j,U,s,U,s,2,1,j,1,C,1,j1,U,s,2,1,j,(,),U,s,2,1,j,=,U,4,=U,4g,=U,41,+U,1g,=,Z,41,Z,41,+Z,43,U,s,+,U,s,2,1,1,C,=,U,s,90,V,2,1,=,=,R,j,U,s,+,U,s,2,1,j,1,C,1,j1,U,s,2,1,j,+,(,),U,s,2,1,j,=,U,2,U,1,U,3,U,4,电路分析基础,第三部分：第,11,章 目录,第,11,章,阻抗与导纳,1,有效值 有效值相量,5,正弦稳态混联电路分析,2,基尔霍夫定律,6,相量模型的网孔分析法,的相量形式,和节点分析法,3,三种基本电路元件伏,7,相量模型的等效,安关系的相量形式,4,阻抗和导纳相量模型,电路分析基础,第三部分：,11-6 1/9,11-6,相量模型的网孔分析法和节点分析法,有关网孔分析法和节点分析法的定义，我们已经在第二章中进行了明确定义。我们再来回顾一下。,互电阻,自电阻,电压升,R,11,R,12,R,1m,R,21,R,22,R,2m,.,R,m1,R,m2,R,mm,u,s11,u,s22,u,smm,=,i,m1,i,m2,i,mm,网孔电流,自电阻：,网孔内所有电阻之和；,互电阻：,网孔之间公共电阻代数和；,电压升：,网孔内所有电压源电压升代数和。,电路分析基础,第三部分：,11-6 2/9,互阻抗,自阻抗,电压升,相量,Z,11,Z,12,Z,1m,Z,21,Z,22,Z,2m,.,Z,m1,Z,m2,Z,mm,U,s11,U,s22,U,smm,=,I,m1,I,m2,I,mm,网孔电流,相量,自阻抗：,网孔内所有阻抗之和；,互阻抗：,网孔之间公共阻抗代数和；,电压升相量：,网孔内所有电压源相量电压升代数和。,G,11,G,12,G,1(n-1),G,21,G,22,G,2(n-1),.,G,(n-1)1,G,(n-1)2,G,(n-1)(n-1),i,s11,i,s22,i,s(n-1)(n-1),=,u,n1,u,n2,u,n(n-1),互电导,自电导,电流输送,节点电压,电路分析基础,第三部分：,11-6 3/9,自电导：,节点上所有电导之和；,互电导：,节点之间公共电导代数和（恒为负）；,电流输送：,所有流入节点电流源电流的代数和。,电路分析基础,第三部分：,11-6 4/9,Y,11,Y,12,Y,1(n-1),Y,21,Y,22,Y,2(n-1),.,Y,(n-1)1,Y,(n-1)2,Y,(n-1)(n-1),I,s11,I,s22,I,s(n-1)(n-1),=,U,n1,U,n2,U,n(n-1),互导纳,自导纳,相量电流输送,节点相量电压,自导纳：,节点上所有导纳之和；,互导纳：,节点之间公共导纳代数和（恒为负）；,相量电流输送：,所有流入节点电流源相量电流代数和。,电路分析基础,第三部分：,11-6 5/9,例,11-18,图,11-39,所示电路，求,i,1,(t),、,i,2,(t),。,解：,（,a,）,U,s,=10 0,（,b,）各元件阻抗,Z,R,=,3,，,Z,L,=,j1000