高等数学-空间曲面和曲线-PPT.ppt

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义：曲面方程的定义：8.3 空间曲面和曲线空间曲面和曲线8.3.1 空间曲面方程空间曲面方程(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；不在曲面上的点的坐标都不满足方程；(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；曲面上任一点的坐标都满足方程；如果曲面如果曲面 与三元方程与三元方程 有下述关系：有下述关系：而曲面而曲面 S 称为方程的图形称为方程的图形.那么那么,方程方程 就称为曲面就称为曲面S 的方程的方程,解解由题意，有由题意，有所求方程为所求方程为特别地特别地,球心在原点的球面方程为球心在原点的球面方程为即即设设 是球面上任一点，是球面上任一点，例例1 建立球心在点建立球心在点 半径为半径为 R的球面方程的球面方程.球面的一般方程为球面的一般方程为经配方经配方,可化为球面的标准方程可化为球面的标准方程.例如例如配方后得配方后得例如例如与与分别表示上、下半球面分别表示上、下半球面.定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称母线此曲线称母线.称为旋转曲面称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲面,为方便为方便,常把曲线所在常把曲线所在一条平面曲线一条平面曲线母线母线轴轴作坐标轴作坐标轴.平面取作坐标面平面取作坐标面,旋转轴取旋转轴取将将 代入代入得所求方程为得所求方程为现求现求 yOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程轴旋转一周的旋转曲面方程.(2)点点 M到到 z轴的距离轴的距离xOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为轴旋转一周的旋转曲面方程为绕绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为轴旋转一周的旋转曲面方程为同理同理：yOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线解解 圆锥面方程圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的顶点圆锥面的顶点,两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的半顶角圆锥面的半顶角.称为称为试建立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点O,旋旋半顶角为半顶角为 的的圆锥面的方程圆锥面的方程.转轴为转轴为z轴轴,面上直线方程为面上直线方程为例例2 直线直线 L绕另一条与绕另一条与 L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周圆锥面的方程也可写成圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式圆锥面的几种常用形式与与分别表示开口朝上与朝下的半锥面分别表示开口朝上与朝下的半锥面.旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面例例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程(1)yoz面上的椭圆面上的椭圆 绕绕y 轴和轴和z 轴轴;(2)yoz 面上的抛物线面上的抛物线 绕绕z 轴轴;绕绕y 轴旋转轴旋转绕绕z 轴旋转轴旋转定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的准线称为柱面的准线,动直线动直线L 称为柱面的母线称为柱面的母线.所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.移动的直线移动的直线L 准线准线母母线线柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：(其他类推其他类推)在空间直角坐标系中表示平行于在空间直角坐标系中表示平行于z 轴的柱面轴的柱面,其准线为其准线为xOy面上的曲线面上的曲线C.椭球面椭球面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面(与与 同号同号)椭圆抛物面椭圆抛物面zxyoxyzo特殊地特殊地:当当 时时,方程变为方程变为旋转抛物面旋转抛物面分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.例如例如与与(与与 同号同号)双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)设设图形如下图形如下：单叶双曲面单叶双曲面 xyoz双叶双曲面双叶双曲面xyo空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C 可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点:曲线上的点都满足方程曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能不在曲线上的点不能同时满足两个方程同时满足两个方程.8.3.2 空间曲线方程空间曲线方程例例4 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线?解解表示圆柱面表示圆柱面，表示平面表示平面，交交线线为为椭椭圆圆C例例5 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线?解解上半球面上半球面(如图如图)圆柱面圆柱面(如图如图)交线为蓝色部分交线为蓝色部分(如图如图)称为空间曲线的参数方程称为空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点就得到曲线上的一个点全部点全部点.动点从动点从A点出发点出发,螺旋线的螺旋线的参数方程参数方程取时间取时间t为参数为参数,解解经过经过t时间时间,运动到运动到M点点.那末点那末点M 构构成的图形称为螺旋线成的图形称为螺旋线.试建立其参数方程试建立其参数方程.M在在xOy面的投影面的投影轴的正方向上升轴的正方向上升例例6 如果空间一点如果空间一点M 在圆柱面在圆柱面上以上以角速度角速度绕绕z 轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z消去变量消去变量z 后得后得：曲线关于曲线关于xOy的的投影柱面投影柱面.设空间曲线设空间曲线C的一般方程的一般方程：投影柱面的特征：投影柱面的特征：此柱面必包含曲线此柱面必包含曲线C,以曲线以曲线C为准线、为准线、C母线垂直于所投影的坐标面母线垂直于所投影的坐标面.类似地类似地:可定义空间曲线在其它可定义空间曲线在其它坐标面上的投影坐标面上的投影.yOz面面上的投影曲线上的投影曲线 xOz面上的投影曲线面上的投影曲线空间曲线在空间曲线在xOy 面上的投影曲线面上的投影曲线(或称投影或称投影)(即为曲线关于即为曲线关于xOy面面的投影柱面的投影柱面)(即为即为xOy 面面)C(即为投影柱面与即为投影柱面与xOy 面的交线面的交线)解解 交线方程为交线方程为消去消去z 得投影柱面得投影柱面的交线关于的交线关于xOy面的投影柱面和面的投影柱面和在在xOy面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.例例7 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 与抛物柱面与抛物柱面例例8 设一立体设一立体,由上半球面由上半球面解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为的投影的投影.和锥面和锥面 所围成所围成,求它在求它在 xOy 面上面上