高等数学-空间曲面和曲线-PPT.ppt
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1、曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义:曲面方程的定义:8.3 空间曲面和曲线空间曲面和曲线8.3.1 空间曲面方程空间曲面方程(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程;不在曲面上的点的坐标都不满足方程;(1)曲面上任一点的坐标都满足方程;曲面上任一点的坐标都满足方程;如果曲面如果曲面 与三元方程与三元方程 有下述关系:有下述关系:而曲面而曲面 S 称为方程的图形称为方程的图形.那么那么,方程方程 就称为曲面就称为曲面S 的方程的方程,解解由题意,有由题意,有所求方程为所求方程为特别地特别地,球心在原点的球面方程为球心在原点的球面方程为即即设设 是球
2、面上任一点,是球面上任一点,例例1 建立球心在点建立球心在点 半径为半径为 R的球面方程的球面方程.球面的一般方程为球面的一般方程为经配方经配方,可化为球面的标准方程可化为球面的标准方程.例如例如配方后得配方后得例如例如与与分别表示上、下半球面分别表示上、下半球面.定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称母线此曲线称母线.称为旋转曲面称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲面,为方便为方便,常把曲线所在常把曲线所在一条平面曲线一条平面曲线母线母线轴轴作坐标轴作坐标轴.平面取作坐标面平面取作坐标面,旋转轴取旋转轴取将将 代
3、入代入得所求方程为得所求方程为现求现求 yOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程轴旋转一周的旋转曲面方程.(2)点点 M到到 z轴的距离轴的距离xOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为轴旋转一周的旋转曲面方程为绕绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为轴旋转一周的旋转曲面方程为同理同理:yOz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线解解 圆锥面方程圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的顶点圆锥面的顶点,两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的半顶角圆锥面的半顶角.称为称为试建
4、立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点O,旋旋半顶角为半顶角为 的的圆锥面的方程圆锥面的方程.转轴为转轴为z轴轴,面上直线方程为面上直线方程为例例2 直线直线 L绕另一条与绕另一条与 L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周圆锥面的方程也可写成圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式圆锥面的几种常用形式与与分别表示开口朝上与朝下的半锥面分别表示开口朝上与朝下的半锥面.旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面例例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程(1)yoz面上的椭圆面上的椭圆 绕绕y 轴和轴和z 轴轴;(2)yoz 面上的
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