重庆市铜梁中学等七校2025届高二下数学期末联考试题含解析.doc

重庆市铜梁中学等七校2025届高二下数学期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集为R，集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数（是实数，是虚数单位），则等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
5．已知向量，且，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
7．，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是等差数列的前n项和，且，则的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的不等式的解集是，则实数等于（　　）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________．
14．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的__________条件
15．已知复数，则复数______.
16．直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）若有三个极值点，求的取值范围；
（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：．
18．（12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为．求:
（1）他们能研制出疫苗的概率；
（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率．
19．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
20．（12分） “蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．
21．（12分）正项数列的前项和满足.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
22．（10分）已知，．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对一切的时，恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、B
【解析】
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．
【详解】
∵复数（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣1．
故选B．
本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．
3、B
【解析】
根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】
当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．
4、B
【解析】
设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.
5、D
【解析】
先根据已知求出x,y的值，再求出的坐标和的值.
【详解】
由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故答案为D
本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6、A
【解析】
由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
7、B
【解析】
分析：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，从而即可得到答案.
详解：，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，
不站在两头，即站中间，则有种情况，
则不站在两头的概率为.
故选：B.
点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8、B
【解析】
∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．
【详解】
∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），
∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，
令t=log2x，所以，=﹣t，
则不等式f（log2x）+f（）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，
即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，
又∵f（1）=2+=1，
且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，
∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，
解得，x∈[，2]，
故选B．
本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．
9、D
【解析】
由等差数列的求和公式，转化为，故，分析即得解
【详解】
由题意，等差数列，且
可得
故
所以
当时，
则的通项公式可能是
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
10、B
【解析】
利用期望与方差性质求解即可．
【详解】
；．故，．
故选．
考查期望与方差的性质，考查学生的计算能力．
11、B
【解析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设,
可得：，
则，
，
可得：，
可得：，
故选：B.
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
12、C
【解析】
根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意不等式的解集是，
所以方程的解是，则，解得，故选C.
本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据向量夹角为钝角，可知且，解不等式可求得结果.
【详解】
由题意可知：
且
解得：且，即
本题正确结果：
本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为的情况，造成出现增根.
14、充分不必要
【解析】
分析：由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断。
详解：线线平行的性质定理：平面α，直线m，n满足mα，nα，若则
线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，过这条直线作一个平面与这个平面交线，那么直线和交线平行。故为充分不必要条件
分析：线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。
15、
【解析】
根据共轭复数的表示方法算出即可.
【详解】
由,则,所以
故答案为：
本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题型.
16、
【解析】
本题先根据抛物线焦点坐标可得出值，再根据抛物线的定义和准线，可知
，再分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理最终求得结果.
【详解】
由题得，抛物线的焦点，所以，故.
所以抛物线的方程为：.
可设，由抛物线的定义可知：.
当斜率不存在时，，
所以：.
当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为：.
联立 ，整理得：，
所以 ，
所以.
综合①②，可知.
故答案为:1.
本题主要考查抛物线的标准方程，焦点坐标和准线，结合抛物线的定义，联立方程组，利用韦达定理化简求值，其中需要注意，当直线斜率未知时，需分类讨论斜率存在和不存在两种情况.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题.
（1），定义域为，
，∵，
只需应有两个既不等于0也不等于的根，，
①当时，，∴单增，最多只有一个实根，不满足；
②当时， ，
当时，，单减；当时，，单增；
∴是的极小值，
而时，，时，，
要有两根，只需，由
，又由，
反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于.
在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点.
综上，的取值范围为.
（2） 对恒成立，
①当或1时，均满足；
②对恒成立对恒成立，
记，，，，
欲证，
而 ，
只需证明 ，显然成立.
下证：，，，，
先证：，，
，.
令，，
，，，∴在上单增，
∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，
∴，即证.
要证：，.
只需证，
，
而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.
点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围．
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：记A、B、C分别表示他们研制成功这件事，则由题意可得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．
（1）他们都研制出疫苗的概率P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C），运算求得结果．（2）他们能够研制出疫苗的概率等于，运算求得结果
试题解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，
“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E，“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F，
则P（D）=，P（E）=，P（F）=
（1）P（他们能研制出疫苗）=1-P（）==
（2）P（至多有一个机构研制出疫苗）=）
=+++P（）
=+++=
考点：相互独立事件的概率乘法公式
19、 (1)见解析；(2) 的最大值为1.
【解析】
（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.
【详解】
（1）
当时， 在上递增；
当时，令，解得：
在上递减，在上递增；
当时， 在上递减
（2）由题意得：
即对于恒成立
方法一、令，则
当时， 在上递增，且，符合题意；
当时， 时，单调递增
则存在，使得，且在上递减，在上递增

由得：
又 整数的最大值为
另一方面，时，，
，
时成立
方法二、原不等式等价于：恒成立
令
令，则
在上递增，又，
存在，使得
且在上递减，在上递增

又，

又，整数的最大值为
本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有2次试验成功或3次试验全部成功，先计算出2次与3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次两种情况求其概率相加即可
【详解】
(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为.
(2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则
，
设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则，
故两个小组试验成功至少3次的概率为.
本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验某事件恰好发生k次的概率、相互独立事件的概率乘法公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
21、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想证明见解析
【解析】
分析：（1）直接给n取值求出，，.(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
详解：（Ⅰ）令，则，又，解得；
令，则，解得；
令，则，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；
下面用数学归纳法证明.
由（Ⅰ）可知当时，成立；
假设当时，，
则.
那么当时，，
由 ，
所以，又，所以，
所以当时，.
综上，.
点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。②证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立.
22、（Ⅰ）f（x）的极小值是（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）对求导，并判断其单调性即可得出极值。
（Ⅱ）化简成，转化成判断的最值。
【详解】
解：（Ⅰ），，
，令，解得：，令，解得：，
∴在递减，在递增，
∴的极小值是；
（Ⅱ）∵，
由题意原不等式等价于在上恒成立，
即，可得，
设，则，
令，得，（舍），
当时，，当时，，
∴当时，h（x）取得最大值，，
∴，即a的取值范围是．
本题主要考查了函数极值的判断以及函数最值的问题，在解决此类问题时通常需要求二次导数或者构造新的函数再次求导。本题属于难题。