2025年吉林省吉林市普通中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年吉林省吉林市普通中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
5．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=,则 ( )
A．a< B．a<且a≠1 C．a>且a<-1 D．-1<a<
6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和1．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，，，……，依此类推得：，则（ ）
A．228 B．240 C．260 D．273
10．设，则的定义域为（ )．
A．（－4,0)∪（0,4)
B．（－4，－1)∪（1,4)
C．（－2，－1)∪（1,2)
D．（－4，－2)∪（2,4)
11．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）
A．720 B．520 C．600 D．264
12．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价（元）
4
5
6
7
8
9
销量（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为，则实数______.
14．某校从7名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有____________.
15．已知函数则_______.
16．已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）. 是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
18．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.
19．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，若的面积为，求的值．
21．（12分）设
1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）与x无关．
（1）若＝10，求p的值；
（2）试用关于n的代数式表示：；
（3）设，，试比较与的大小．
22．（10分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
由，
得，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．
故选：A．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
2、A
【解析】
由题意可得： ，
由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .
本题选择A选项.
点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
3、D
【解析】
根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率。
【详解】
由题意可知，五次测试中恰有三次测到正品，则有两次测到次品，
根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：D。
本题考查独立重复试验概率的计算，主要考查学生对于事件基本属性的判断以及对公式的理解，考查运算求解能力，属于基础题。
4、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
5、D
【解析】
先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范围．
【详解】
因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，
所以f（2）=f（-1）=-f（1）．
又因为f（1）＞1，故f（2）＜-1，
即＜-1⇒＜0
解可得-1＜a＜．
故选：D．
本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．
6、B
【解析】
抛物线的焦点为：，
双曲线的渐近线为：.
点到渐近线的距离为：.
故选B.
7、B
【解析】
因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点
【详解】
因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点
又，，，即函数在上有一个零点
答案选B
零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数
8、C
【解析】
直接根据几何概型计算得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.
9、C
【解析】
使用裂项法及，的范围求出，的值，从而求出答案．
【详解】
，
，
．
，，．
，，所以mn=260.
故选：C
本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、B
【解析】
试题分析：要使函数有意义，则解得，有意义，须确保两个式子都要有意义，则，故选.
考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.
11、D
【解析】
根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果.
【详解】
若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，
若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；
因此不同的演出顺序的种数为.
故选：D.
本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型.
12、B
【解析】
先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得 的最大值代入可得.
【详解】
若存在，使得有解,即存在,使得,
令,则问题转化为:,
因为,
当 时, ;当 时, ,
所以函数 在 上递增,在 上递减,
所以 ,
所以.
故选B.
本题考查了不等式能成立问题,属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、106
【解析】
求出样本中心坐标，代入回归方程即可求出值.
【详解】
解：，，
将代入回归方程得，
解得.
故答案为：.
本题考查回归方程问题，属于基础题.
14、264
【解析】
根据题意，分两步进行，
第一步,先选四名老师,又分两类：①甲去,则丙一定去,乙一定不去,有种不同选法，
②甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有种不同选法，
则不同的选法有6+5=11种
第二步,四名老师去4个边远地区支教,有
最后，由分步计数原理，可得共有11×24=264种方法.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
15、6
【解析】
根据分段函数的分段定义域分析代入直至算出具体函数值即可.
【详解】
由题意知.
故答案为6
本题主要考查分段函数求值的问题,属于基础题型.
16、
【解析】
由，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联立计算即可．
【详解】
设双曲线右焦点为，则，所以，而
的最小值为，所以最小值为，
又，解得，于是，故双曲线方程为.
本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】
（1）为奇函数
又
当时，是奇函数，满足题意

（2），
又
；

本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）当时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解；
（Ⅱ）由题意，求得，利用导数即可求解函数的单调区间.
（Ⅲ）令，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.
【详解】
（Ⅰ）当时，函数在处的切线方程是；
（Ⅱ），
当时，函数的单调增区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
（Ⅲ）令，
可以证明函数的最小值是，所以恒成立，所以两个图像没有交点.
本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
19、（1）4；（2）.
【解析】
（1）当时，分别讨论每一段的单调性，综合比较，即可求得最小值；
（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，因为函数是连续的，只需要函数在两段上都单调递增，即可得解.
【详解】
（1）当时，，
当时，为减函数，；
当时，为减函数，
当时，函数取得最小值；
当时，为增函数，；
所以当时，函数取得最小值.
（2） ，
因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的，
所以，解得，
故所求实数a的取值范围是.
本题考查分段函数的最值问题，考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.已知分段函数的单调性求参数的取值范围时，除了考虑分段函数在每一段上的单调性必须相同之外，还要考虑函数在分界点处的函数值的大小关系，因此，解题时要考虑全面，否则会产生解题中的错误.
20、 (1) 是以为圆心，为半径的圆. 的极坐标方程.(2)
【解析】
（1）消去参数得到的普通方程.可得的轨迹.
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.
（2）先得到的极坐标方程，再将，代入，解得，，利用三角形面积公式表示出的面积，进而求得a.
【详解】
(1)由已知得：平方相加消去参数得到=1，即，∴的普通方程：.
∴是以为圆心，为半径的圆.
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.
（2）的极坐标方程，
将，代入，解得，
，
则的面积为，解得.
本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.
21、 (1) .
(2) .
(3) .
【解析】
分析：（1）先根据二项式展开式通项公式得，解得p的值；（2）先由得,再得, 等式两边对求导，得；最后令得结果，（3）先求，化简不等式为比较与的大小关系，先计算归纳得大小关系，利用数学归纳法给予证明.
详解：（1）由题意知，所以.
（2）当时，，
两边同乘以得：

，
等式两边对求导，得：

令得：
，
即
（3），
猜测：
当时，，，，此时不等式成立；
②假设时，不等式成立，即：，则时，

所以当时，不等式也成立；
根据①②可知，，均有.
点睛： 有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.对二项展开式两边分别求导也是一个常用的方法，另外也可应用组合数性质进行转化：，.
22、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.