2025届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体数学高二第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2025届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体数学高二第二学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )

A．24种 B．16种 C．12种 D．10种
2．已知复，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．下列点不在直线 (t为参数)上的是(　　)
A．(－1，2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3，2)
4．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
7．在方程（为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）
A．(2,7) B． C．(1,0) D．
8．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
9．若复数满足，则复数的虚部为.
A．-2 B．-1 C．1 D．2.
10．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）
A．990 B．1320 C．1430 D．1560
11．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则
A． B． C． D．
12．已知变量，之间具有线性相关关系，其回归方程为，若，，则的值为( )
A． B． C． D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正项等比数列{an}中，，则的前9项和_____．
14．若不等式有且只有1个正整数解，则实数a的取值范围是______.
15．设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）
16．把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点
（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．
18．（12分）已知函数.
（I）求最小正周期；
（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.
19．（12分）（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程．
（2）求过点，且与直线垂直的直线的方程；
20．（12分）某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:
连锁店
A店
B店
C店
售价x（元）
80
86
82
88
84
90
销量y（元）
88
78
85
75
82
66
(1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如A店对应的散点为，求出售价与销量的回归直线方程;
(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)
附:,.
21．（12分）某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．

产品质量/毫克
频数

（Ⅰ）以样本的频率作为概率，试估计从甲流水线上任取件产品，求其中不合格品的件数的数学期望．

甲流水线
乙流水线
总计
合格品

不合格品

总计

（Ⅱ）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？
（Ⅲ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量服从正态分布，求质量落在上的概率．
参考公式：
参考数据：

参考公式：
，其中．
22．（10分）已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若为假，为真，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.
2、C
【解析】
，选C
3、D
【解析】
先求出直线l的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l上，否则不在.
【详解】
直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
故答案为D
(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.
4、B
【解析】
根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.
【详解】
由伸缩变换，得， 代入， 得，
即 ．选B
本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.
5、D
【解析】
首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.
【详解】
,
令
解得 ，
若在上单调递增，
,解得：

时，.
故选D.
本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.
6、A
【解析】
令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】
令，先解方程.
（1）当时，则，得；
（2）当时，则，即，解得，.
如下图所示：

直线，，与函数的交点个数为、、，
所以，方程的根的个数为，故选A.
本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．
7、D
【解析】
分析：化参数方程（为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.
详解：方程（为参数）消去参数得到将四个点代入验证只有D满足方程.
故选D.
点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题
8、A
【解析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.
【详解】
直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，
因，故，从而有，A正确.
B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.
综上，选A.
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.
9、D
【解析】
根据复数除法的运算法则去计算即可.
【详解】
因为，所以，虚部是，
故选D.
本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算
10、B
【解析】
根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值。
【详解】
依题意可得，解得，故选：B。
本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。
11、C
【解析】
由得，，解得，从而，故选C.
12、A
【解析】
根据题意，可知，，，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。
【详解】
依题意知，，而直线一定经过点，
所以，解得．故答案选A。
本题主要考查了根据线性回归方程的性质求回归直线，线性回归直线过点，这个点称为样本点的中心，回归直线一定过此点。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意得 ,当 时, 当 时,所以或
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
14、
【解析】
令（），求出，由导数研究函数的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出的范围．
【详解】
令（），则.
当时，由得；由得；
所以在单调递增，在单调递减，不合题意，舍去；
当时，有，显然不成立；
当时，由得；由得；
所以在单调递减，在单调递增，
依题意，需解得，
故实数a的取值范围是.
本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．
15、
【解析】
根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.
【详解】
由可知：

本题正确结果：
本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.
16、1
【解析】
根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步分析：
①、让甲分到一班，只有1种方法；
②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C32＝3种安排方法；
③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C32＝3种安排方法；
则不同的分法有1×3×3＝1种；
故答案为：1．
本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）P（1，） （2）
【解析】
（1）设P（x，y）；，根据三角形PF1F2的面积为列等式解得，再代入椭圆方程可得，即可得到答案；
（2）根据两点间的距离公式得到的函数关系式，再根据二次函数求最值可得结果.
【详解】
椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，
所以：椭圆的顶点坐标（±2，0）；（0，±1），焦点：F1（，0），F2（，0），
|F1F2|＝2；
P是椭圆E上位于第一象限的一点，设P（x，y）；；
（1）若三角形PF1F2的面积为，即：|F1F2|×y；
解得：y，
因为P是椭圆E上位于第一象限的一点，满足椭圆的方程，代入椭圆方程得：x＝1，
所以：点P的坐标P（1，）；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，P是椭圆E上位于第一象限的一点，
所以：d．
因为，所以时，d有最小值，
所以d的最小值d．
本题考查了椭圆的几何性质，考查了三角形的面积公式，考查了两点间的距离公式，考查了二次函数求最值，属于中档题.
18、（I）；（Ⅱ）3,0.
【解析】
（Ⅰ）先化简整理原式，通过周期公式即得答案；
（Ⅱ）先判断在上的增减性，从而可求出最大值和最小值.
【详解】
（Ⅰ）

所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又，，,
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
本题主要考查三角恒等变形，最值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力以及计算能
力，难度不大.
19、（1）或（2）
【解析】
（1）需分直线过原点，和不过原点两种情况，过原点设直线，不过原点时，设直线，然后代入点求直线方程；（2）根据垂直设直线的方程是，代入点求解.
【详解】
解：（1）当直线过原点时，直线方程为：；
当直线不过原点时，设直线方程为，
把点代入直线方程，解得，
所以直线方程为．
（2）设与直线l：垂直的直线的方程为：，把点代入可得，，解得．∴过点，且与直线l垂直的直线方程为：．
本题考查了直线方程的求法，属于简单题型.
20、（1）（2）
【解析】
（1）求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程（2）设定价为，得出利润关于的函数，利用二次函数的性质确定出的最值．
【详解】
（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为，，．
，．
，
．
售价与销量的回归直线方程为．
（2）设定价为元，则利润为．
当时，取得最大值，即利润最大．
本题主要考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）由表知，以频率作为概率，再根据二项分布求数学期望，
（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，由此得列联表，根据表中数据计算出观测值，结合临界值表可得；
（Ⅲ）根据正态分布的概率公式可得．
【详解】
解：（Ⅰ）由表知，样本中不合格品的件数为，故任取一件产品是不合格品的频率为
以频率作为概率，则从甲流水线上任取一件产品是不合格品的概率为，
则，从而．
（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，
所以，列联表是：

所以
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关
（Ⅲ）乙流水线生产的产品质量服从正态分布，
所以产品质量的数学期望，标准差为
因为，
所以
即：
所以乙流水线产品质量落在上的概率为．
本题考查了二项分布中数学期望公式、频率分布直方图、独立性检验以及正态分布的概率，属中档题．
22、 (1)；(2)
【解析】
（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，
由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.
【详解】
(1)对任意，不等式恒成立，
当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，
，解得.
因此，若为真命题时，的取值范围是.
(2)存在，使得成立，.
命题为真时，，
且为假，或为真，
，中一个是真命题，一个是假命题.
当真假时，则解得；
当假真时，，即.
综上所述，的取值范围为.
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.