概率论与数理统计课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,概率论与数理统计,1,1.确定性现象和不确定性现象.,2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.,第一章,概率论的基本概念,前 言,3.概率与数理统计的广泛应用.,2,1,.随机试验,E,1,:,抛一枚硬币，观察正(,H),反(,T),面 的情 况.,E,2,:,将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E,3,:,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验,称为试验。,E,4,:,电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E,5,:,在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.,3,随机试验:,(1)可在相同的条件下重复试验;,(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;,(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果.,4,2.,样本空间与随机事件,(一),样本空间:,定义 随机试验,E,的所有可能结果组成的集合称为,E,的样本空间,记为,S.,样本空间的元素称为样本点，用,表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例,E,1,E,2,等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例 灯泡的寿命,t|t0,.,5,(,二),随机事件,定义 样本空间,S,的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.,基本事件,:,复合事件:,必然事件:,不可能事件,：,由一个样本点组成的单点集.如:,H,T.,由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.,如:,E,3,中,出现正面次数为奇数.,样本空间,S,是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集,不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,6,例1.,试确定试验E,2,中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:,事件A,1,=“第一次出现正面”、事件A,2,=“恰好出现一次正面”、事件A,3,=“至少出现一次正面”,.,7,（三）,事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件,A,发生必然导致事件,B,发生,则称件,B,包含事件,A,记作,A,B.,若,A,B,且,A,B,即,A=B,则称,A,与,B,相等.,8,B,A,S,2.和事件:,3.积事件：事件,A,B=,x,|,x,A,且,x,B,称,A,与,B,的积，即事件,A,与,B,同时发生.,A,B,可简记为,AB.,类似地,事件 为可列个事件,A,1,A,2,.,的积事件.,B,A,S,9,4.差事件:,事件,A-B=,x,|,x,A,且,x,B,称为,A,与,B,的差.当且仅当,A,发生,B,不发生时事件,A-B,发生.即:,显然:,A-A=,A-=A,A-S=,A,B,s,10,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,11,6.对立事件(逆事件)：,S,A,B,12,7.事件的运算律:,交换律:,结合,律,:,对偶律:,分配律,:,证明,对偶律,.,13,例,.,甲、乙、丙三人各射击一次，事件,A,1,A,2,A,3,分别表示,甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：,14,3.,概率的概念,一,.,古典定义：,等可能概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1)样本空间中的元素只有有限个;,(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.,概率的古典定义:,对于古典概型,样本空间,S,1,2,n,设事件A包含S的,k,个样本点，则事件A的概率定义为,15,古典概型概率的计算步骤:,(,1)选取适当的样本空间,S,使它满足有限等可能的要求,且把事件,A,表示成,S,的某个子集.,(,2)计算样本点总数,n,及事件,A,包含的样本点数,k.,(,3)用下列公式计算:,16,例1.袋中装有4只白球和2只红球.,从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:,(,a),放回抽样;(,b),不放回抽样.,求:(1)两球颜色相同的概率;,(,2),两球中至少有一只白球的概率.,例,2.设一袋中有编号为1,2,9的球共9只,现从中任取3只,试求:,(1)取到1号球的概率,（事件,A）,(2),最小号码为5的概率.（事件,B）,17,例,3.,某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.,注,18,二、几何定义,:,定义,19,定义,当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量,(,长度,面积,体积,),相同的子区域是等可能的,则事件,A,的概率可定义为,说明,当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率,.,20,例,1,甲、乙两人相约在,0,到,T,这段时间内,在预,定地点会面,.,先到的人等候另一个人,经过时间,t,(,t,0),的一些平行直,线,现向此平面任意投掷一根长为,l,(0,称,为在事件,A,发生的条件下事件,B,发生的条件概率.,29,2.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,30,注,当,AS,时,P(BS)=P(B),条件概率化为无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率.,计算条件概率有两种方法:,1.公式法：,31,2.缩减样本空间法：,在,A,发生的前提下,确定,B,的缩减样本空间,并在其中计算,B,发生的概率,从而得到,P(B|A).,例,2.在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个,数码,取后不放回,连,取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.,32,(,二)乘法公式:,P(AB)0,则有,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,设,A,1,A,2,A,n,是,n,个事件,(,n,2),P(,A,1,A,2,.A,n-1,)0,则有,乘法公式:,P(A,1,A,2,A,n,)=P(A,1,)P(A,2,|A,1,)P(A,n-1,|A,1,A,2,A,n-2,),P(A,n,|A,1,A,2,A,n-1,).,推广,33,r,只红球,t,只白球,例,3.,每次任取一只球观察颜色后,放回,再放回,a,只同色球,在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,34,(,三),全概率公式和贝叶斯公式:,1.样本空间的划分,S,B,1,B,2,B,3,.,B,n,注,(1)若,B,1,B,2,B,n,是样本空间,S,的一个划分,则每次试验中,事件,B,1,B,2,B,n,中必有一,个且仅有一个发生,.,35,2.全概率公式:,称为全概率公式.,3.贝叶斯公式:,36,例,4,.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制,造,厂提供的,数据如下:,元件制造厂 次品率 提供的份额,1 0.02 0.15,2 0.01 0.80,3 0.03 0.05,(1)任取一只晶体管,求它是次品的概率.,(2)任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概,率分别是多少?,37,例,5.,对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好,时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%,每天早晨机器开动时机器调整良,好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是,合格品时,机器调整得良好的概率是多少?,38,1.6 独立性,设,A,B,是试验,E,的两事件,当,P(A)0,可以定义,P(B|A).,一般地,P(B|A)P(B),但当,A,的发生对,B,的发生的概,率没有影响时,有,P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验,E,为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况,.,设,A“,甲币出现,H”,B“,乙币出现,H”,试求,:,B,发生的条件下，,A,发生的概率；,A,发生的概率,.,1.定义:设,A,B,是两事件,如果满足等式,P(AB)=P(A)P(B),则称事件,A,与事件,B,是相互独立的事件,.,39,由定义可知:,1)零概率事件与任何事件都是相互独立的.,2)由对称性,A,B,相互独立,必有,B,A,相互独立.,2.定义推广:,设,A,1,A,2,A,n,是任意的1,i,j,n,有,P(A,i,A,j,)=,P(A,i,)P(A,j,),则称这,n,个事件,两两相互独立.,如果对于任意的,k,(,k,n),任意的,1,i,1,i,2,0,则,A,B,相互独立,的充要条件是:,P(B|A)=P(B).,有关结论:,41,三.利用独立性计算古典概率:,1.计算相互独立的积事件的概率：,若已知,n,个事件A,1,A,2,A,n,相互独立，则,P(A,1,A,2,A,n,)=P(A,1,)P(A,2,)P(A,n,),2.计算相互独立事件的和的概率：,若已知,n个事件A,1,A,2,A,n,相互独立，则,例,1.两架飞机依次轮番对同一目标投弹,每次投下一颗炸弹,每架飞机各带3颗炸弹,第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3,第2,架的概率为0.4,求炸弹未完全耗尽而,击中目标的概率。,42,例,2.设有8个元件,每个元件的可靠性均为,p(,元件能,正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比,较两个系统的可靠性.,A,1,B,1,A,2,B,2,B,3,B,4,A,3,A,4,系统二:先并联后串联,系统一:先串联后并联,A,1,B,1,A,2,B,2,A,3,B,3,A,4,B,4,43,例,3.,100,件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的),3件测试后都认为音色纯则接收这批,乐器,测试情况如下:,经测试认为音色纯 认为音色不纯,乐器音色纯 0.99 0.01,乐器音色不纯 0.05 0.95,若,100件乐器中恰有4件音色不纯,试问:,这批乐器被接收的概率是多少?,44,第一章 习题课,一、主要内容:,样本空间,随机事件,概率定义及性质,古典概型,条件概率,全概率公式,Bayes,公式,事件的独立性,45,二、课堂练习:,1.选择题:,(1),当事件,A,与,B,同时发生,事件,C,必发生,则有(),(,A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A,B),(C)P(C)P(A)+P(B)-1 (D)P(C)P(A)+P(B)-1,46,2.填空题：,(2)设两个事件,A,B,相互独立,A,B,都不发生的概率,为1/9,A,发生而,B,不发生的概率与,B,发生而,A,不发生,的概率相等,则,P(A)=_.,3.计算题：,47,设甲箱中有,a,只白球，,b,只黑球，乙箱中有,c,只白球，,d,只黑球，从,甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率,。,有,n,个不同,(,可辨别,),的球，每个球都以同样的概率,1/N,被投到,N(,n,N,),个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率：,(1),某指定的,n,个箱子中各一球,(A),(2),恰有,n,个箱，其中各有一球,(B),(3),某指定箱中恰有,m(m,n),个球,(C),(4),恰有,k,个箱子，其中有,m,个球,(D).,3.,在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球,40,个，红球,30,个，旧球中有白球,20,个，红球,10,个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率,.,48,第二章 随机变量及其分布,2.1,随机变量,即,X(e),是定义在样本空间,S,上的一个实函数,对于不同的试验结果,e,X,取不同的值,由于试验前不能预料,e,的取值,因而,X,取1还是取0也是随机的,故称,X(e),为随机变量。,例2.测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示,的.,记灯泡的寿命为,X,则,X,是定义在样本空间,S=e=t|t0,上的函数,即,X=X(e)=t,e=tS.,49,X(e),R,e,S,1.定义:设随机试验,E,的样本空间是,S=e,若对于每一个,eS,有一个实数,X(e),与之对应,即,X(e),是定义在,S,上的单,值实函数，称为随机变量。简记为,r.v.,注,(1)可用随机变量,X,描述事件.,例掷一颗骰子,设出现的点数记为,X,事件,A,为“掷,出的点 数大于,3”,则,A,可表示为“,X3”.,反过来,X,的一个变化范围表示一个随机事件:,“2,X5”,表示事件“掷出的点数大于2且小于5”,.,50,2.分类：,(2),随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布.,(1)离散型随机变量;,(2),非离散型随机变量,1,0,连续型随机变量,2,0,奇异型随机变量,若随机变量全部可能取到,的值是有限多个或可列无,限多个。,51,2.2 离散型随机变量的概率分布,X x,1,x,2,x,n,p,k,p,1,p,2,p,n,.,52,2.求分布律的步骤:,(1)明确X的一切可能取值;,(2)利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.,例,1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率,p,禁止汽车通过,以,X,表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求,X,的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,例,2.袋中装有4只红球和2只白球,从袋中不放回地逐一地摸球,直到第一次摸出红球为止,设,X,表示到第一次摸出红球时所摸的次数,求,X,的分布律.,53,3.几种重要的离散型,r.v.,的分布律：,X 0 1,p,k,1-p p,其中0,p1,PX=k=p,k,(1-p),1-k,k=0,1.,(一)0-1分布,(,二)贝努利试验 (二项分布),54,例1.设,X,是,n,重贝努利试验中事件,A,发生的次数,成功的概率为,p,则,X,是一个随机变量,我们来求它的分布律.若,n=4,求:,PX=k，k=0,1,2,3,4.,当,n=1,时,PX=k=p,k,(1-p),1-k,k=0,1,即为0-1分布.,结论:,称,X,服从参数为,n,p,的二项分布,记为,Xb(n,p).,设,X,是,n,重贝努利试验中事件,A,发生的次数,成功的概率为,p,则它的分布律为：,注,55,例,2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数,X,的分布律.,例,3.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,56,(,三)泊松分布(,Poisson),(2)泊松分布有很多应用.,注,(,3)二项分布与泊松分布之间的关系.,57,泊松(,Poisson),定理：,泊松定理的意义：,1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布.,2.当,n,很大且,p,又较小时,58,例,5.设有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理,问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,59,(四)几何分布,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,p,失败的概率为1-,p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以,X,表示所需的试验次数,则,X,的分布律为:,PX=k=q,k-1,p,k=1,2,称为,X,服从参数为,p,的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为,p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数,X,的分布律.,若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数,Y,的分布律.,60,3 随机变量的分布函数,1.定义：设,r.v.X,x,R,1,则,F(,x,)=P X,x,称为,X,的分布函数.,(2),无论是离散型,r.v.,还是非离散型,r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性.,注,(1),P x,1,x,1,F(,x,2,)-F(,x,1,)=P,x,1,X,x,2,0.,(2)0,F(,x,)1,F(-,)=0,F(+,)=1.,(3),F(x),至多有可列个间断点,而在其间断点,上也是右连续的,F(,x,+0)=F(,x,).,61,例,1.离散型,r.v.,已知分布律可求出分布函数.,X -1 2 3,p,k,1/4 1/2 1/4,求：,X,的分布函数,并求,P X1/2,P3/2X5/2.,结论,反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：,62,63,4.连续型随机变量的概率密度,则称,X,为连续型,r.v.,f,(x),称为,X,概率密度函数,简称概率密度.,连续型,r.v.,的分布函数是连续函数,这种,r.v.,的取值是充满某个区间的.,注,64,例,1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以,X,表示弹着点与圆心的距离.试求,X,的分布函数.,65,定义,注,负指数分布,3.关于连续型,r.v.,的一个重要结论:,定理:设,X,为连续型,r.v.,它取任一指定的实数值,a,的概率均为0.,即,PX=a=0.,66,4.几个常用的连续型,r.v.,分布,(,一)均匀分布:,则称随机变量,X,在(,a,b),上服从均匀分布,记作,XU(a,b).,分布函数为:,67,(二)正态分布:,68,性质:,(,2)标准正态分布:,69,引理:,结论,70,例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量,X(,以克计)是随机变量,XN(500,25),求:,(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;,(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;,(3 求常数,c,使每包的重量小于,c,的概率为0.05.,注,(1)由,(,x,)=0.05,怎样查表求,x,的值,?,(2)服从正态分布,N(,2,),的,r.v.X,之值基本上落入,-2,+2,之内,几乎全部落入,-3,+3,内.,特别强调,N(0,1),的情况在计算中的应用.,71,z,(,x,),0,(,3)标准正态分布的上,分位点:,z,0.05,=,1.645,z,0.025,=,1.96,(,(,x,)=P(X,x,),72,(,三)负指数分布:,1.定义:,如果连续型随机变量,X,的概率密度为:,则称,X,服从参数为,的负指数分布,记为,X().,73,2.特例:,(1,)是参数为的指数分布.,3.伽玛函数的性质:,(,i),(+1)=();,(,ii),对于正整数,n,(n+1)=n!;,(,四)伽玛分布:,如果连续型随机变量,X,的概率密度为:,1.定义:,74,5.随机变量的函数的分布,一、,X,为离散型,r.v.,例,1.设,X,具有以下的分布律,求,Y=(X-1),2,分布律:,X -1 0 1 2,p,k,0.2 0.3 0.1 0.4,75,(2)若,g(x,1,),g(x,2,),中不是互不相等的,则应将那些相等的值分别合并,并根据概率加法公式把相应的,p,i,相加,就得到了,Y,的概率分布律,.,1.离散,r.v.,分布函数的概率分布的求法:,设,X,的概率分布如下表:,X x,1,x,2,x,k,PX=x,i,)p,1,p,2,p,k,.,(1)记,y,i,=,g(x,i,)(i,=1,2,),y,i,的值也是互不相同的,则,Y,的概率分布如下表:,Y y,1,y,2,y,k,PY=,y,i,)p,1,p,2,p,k,.,76,二、,X,为连续型,r.v.,1.“分布函数法”:,(1)先求出,Y,的分布函数:,F,Y,(y)=PYy=Pg(X)y=PX,G,其中,G=x:g(x),y,转化为关于,X,的事件,再利用,X,的分布函数表示.,(,2)对,y,求导得到,Y,的概率密度:,f,Y,(y,)=F,Y,(y).,77,78,(1)若,f(x),在有限区间,a,b,以外等于零,则只需假,设在,a,b,上,g(x),严格单调,选取,=,min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).,2.公式法：,定理:设,X,是连续型,r.v.,具有概率密度,f(x),设,y=g(x),是,x,的严格单调函数,且反函数,x=h(y),具有连续的导函数.,当,g(x),严格增加时,记,=,g(-),=g(+);,当,g(x),严格减少时,记,=,g(+),=g(-),则,Y,的概率密度为:,说明,(2)定理中条件,y=g(x),是,X,的严格单调函数是相当,苛刻的,许多常见的函数都不能满足,因此,求随机,变量的函数的分布时,只能按“分布函数法”直接,求解.,79,例,4.,r.v.XN(,2,),证明,X,的线性函数,Y=,aX+b,(a0),也服从正态分布.,80,第二章 习题课,一.主要内容,二.课堂练习,1.,甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人投中为止，今设甲投中的概率为,0.4,乙投中的概率为,0.6,求甲队员投篮次数的分布律,(,设甲先投,).,81,82,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1.二维,r.v.,定义:设,E,是一个随机试验,样本空间是,S=,e,设,X=X(,e,),和,Y=Y(,e,),是定义在,S,上的,r.v.,由它们构成的一个向量(,X,Y),叫做二维,r.v.,2.二维,r.v.(,联合)分布函数:,83,若将(,X,Y),看成平面上随机点的坐标,则分布函数,F(,x,y,),的值为(,X,Y),落在阴影部分的概率(如图1),图1,图2,二维,r.v.,的分布函数的基本性质与一维,r.v.,的分布函,数,F(,x,),的性质类似,此处从略,.,84,3.下面分别讨论二维离散型和连续型,r.v.,(,一)二维离散型,r.v.,85,例,1.设,r.v.X,在,1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y,则在1,X,中等可能地取一整数,试求(,X,Y),的分布律.,结论,86,(二)二维连续型,r.v.,87,二维连续型,r.v.(X,Y),落在平面,G,上概率,就等于密度函数,f(x,y),在,G,上的积分,这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.,注,88,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,89,例,1(续),X,Y 1 2 3 4,p,j,1 1/4 1/8 1/12 1/16,2 0 1/8 1/12 1/16,3 0 0 1/12 1/16,4 0 0 0 1/16,p,i,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,90,三、,边缘概率密度,:,91,92,3.条件分布,一、二维离散型,r.v.,的情况:,93,94,例,1.设,(,X,Y),的分布律为:,X 5 7 13 18 20,1 0.08 0.01 0 0.02 0.14,2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04,3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09,求在,X=2,时,Y,的条件分布律.,Y,例,2 一射击手进行射击,击中目标的概率为,p,(0,p,1),射击到击中目标两次为止,设以,X,表示首次击中目标进行的射击次数,以,Y,表示总共进行的射击次数,试求,X,和,Y,的联合分布律和条件分布律.,95,二、二维连续型,r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,96,进一步可以化为:,97,例,3.设数,X,在区间(0,1)上随机地取值,当观察到,X=,x,(0,x,0,139,提法二:强大数定律,即证明：,1.,切比雪夫大数定律的特殊情况,设,r.v.X,1,X,2,X,n,相互独立,且具有相同的数学期,望和方差:,140,2.,贝努利定理:,设,n,A,是,n,次独立重复试验中,A,发生的次数,p,是事件,A,在,每次试验中发生的概率,则,性质:,141,3.,切比雪夫大数定律,:,设,X,1,X,2,X,n,是由两两互不相关的,r.v.,所构,成的序列,每一个,r.v.,都有有限的方差,并且它们有公共,的上界.,4.辛钦定理:,设,r.v.X,1,X,2,X,n,相互独立,服从同一分布,且具有,数学期望,142,2.中心极限定理,一.问题提出:,对于独立随机变量序列,1,2,n,假定E,i,D,i,存在,令,143,1.独立同分布的中心极限定理:,设,r.v.,X,k,(k,=1,2,),相互独立,服从同一分布(,i.i.d.),且具有有限的数学期望和方差:,144,2.李雅普诺夫定理:,145,3.德莫佛-拉普拉斯定理,:,146,例,2.,设某车间有200台车床,每台车床由于种种原因出现停车,且每台车床开车的概率为0.6,假定每台车床停或开车是相互独立的.若每台车床开车时需消耗1000,W,电能,问要以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电能？,147,练习:,1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9?,(,147个,),2.,一个复杂的系统，由,n,个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95?,(25个),3.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？,(79条),148,第六章 样本及抽样分布,1.随机样本,一.定义:在统计学中,我们把所研究的全部元素组成的集,合称作母体或总体,总体中的每一个元素称为个体.(可分,为有限总体和无限总体).,二.定义:设,X,是具有分布函数,F,的,r.v.,若,X,1,X,2,X,n,是具,有同一分布函数,F,的相互独立的,r.v.,则称为从分布函数,F,(,或总体,F,或总体,X),得到的容量为,n,的简单随机样本,简称,样本,它们的观察值,x,1,x,2,x,n,称为样本值,又称为,X,的,n,个独立的观察值.,149,若总体,X,是离散型,r.v.,其分布律为,p,k,=X=,a,k,k,=1,2,则样本,X,1,X,2,X,n,的联合分布:,PX,1,=a,i,1,X,2,=a,i,2,X,n,=,a,i,n,=p,i,1,p,i,2,p,i,n,.,结论,150,2.,抽样分布,一.定义:设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的一个样本,又设,g(X,1,X,2,X,n,),是一个连续函数,如果,g,中不含有未知参,数,则称,g(X,1,X,2,X,n,),为统计量.,统计量也是一个随机变量,如 果,x,1,x,2,x,n,是一组样本值,则,g(,x,1,x,2,x,n,),是统计量,g(X,1,X,2,X,n,),的一个观察值.,说明,151,二.常用的统计量:,152,定义：统计量是样本的函数,它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.,注,结论,153,三.几种常用的统计分布:,2.,分布与,2,(,n),分布的关系：,154,注,3.,2,(,n),分布的性质：,155,0,y,f,(y),156,(,二),t-,分布:,说明,157,f(,t),t,0,注,158,(,四),F,分布,:,159,y,0,160,例题,0.1,161,四.正态总体样本的均值与样本方差的分布:,结论,重要定理,162,163,第七章 参数估计,1.,点估计,一.问题的提法:,164,二.矩估计法:,165,样本矩,A,k,依概率收敛于相应的总体矩,而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数.,依据,166,三.极大似然估计方法:,说明,167,理论依据,168,极大似然估计的求解方法:,169,例,2.设,X,服从,a,b,区间上的均匀分布,求,a,和,b,的极大似然,估计和矩估计量,.,极大似然估计的性质:,170,2.估计量的评选标准,1 无偏性:,(,2)例子,S,2,是,D(X),的无偏估计量.,(,3)有偏估计向无偏估计的转化：-一般化方法。,171,2有效性:,172,3一致性:,结论,切比雪夫不等式，大数定律,173,3.区间估计,一.问题引入:,1.定义:,174,说明,1.置信区间的直观含义.,175,二.求置信区间的一般思路:,1.设法构造一个随机变量,Z=Z(X,1,X,2,X,n,;,),除参数,外,Z,不包含其他任何未知参数,Z,的分布 已知(或可求,出),并且不依赖于参数,也不依赖于 其他任何未知参,数.,176,4.正态总体均值与方差的区间估计,一.单个正态总体的均值与方差的区间估计:,177,二.两个正态总体的区间估计:,178,179,三.,两个总体方差比的置信区间:,180,5.(0-1)分布参数的区间估计,例 设自一大批产品的100个样品中,得一级品60个,求这批产品的一级品率,p,的置信度为0.95的置信区间,.,181,6.单侧置信区间,1.定义:,182,第八章 假设检验,1.,假设检验,一.基本思想:,例,1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是,一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为,0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是,否正常,随机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤),0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511,0.520 0.515 0.512,问机器是否正常?,183,假设检验所采用的方法是一种反正法:先假设结论成立,然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算,如果得到矛盾,则推翻原来的假设,结论不成立,这 里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即如果“小概率事件在一次试验中发生了”,则认为原假设不成立,因此,假设检验是一种带有概率性质的反证法.,基本思想,二.基本概念与术语:,1.,称给定的,(0 1)为显著性水平,.,184,说明,185,5.假设检验的一般步骤：,186,三.,假设检验的两类错误,:,1.第一类错误:,如果原假设,H,0,成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝,H,0,的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定义知,显著性水平,恰好是犯第一类错误的概率.,2.第二类错误:,如果原假设,H,0,不成立,而观察值未落入拒绝域,从而作出接受,H,0,的结论,称作第二类错误,又称“取伪”的错误,通常记作,.,接受域,通常人们只控制第一类错误,而不考虑犯第二类错误,这种检验问题,称为显著性检验问题.,说明,187,四.,双边假设检验和单边假设检验,:,188,189,2,正态总体均值的假设检验,一.已知,2,检验:,二.未知,2,检验:,190,例,1.某种电子产品的寿命,x,(,以小时记)服从正态分,布,2,均未知,现测得16只元件的寿命如下:,159 280 101 212 224 379 179 264,222 362 168 250 149 260 485 170,问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?,191,例,2.,某种元件的电阻值长期以来服从 分布,.,现从一批这种电子元件中随机抽取,25,个，测得平均电阻值 ，均方差,问：在 下能否认为这批电子元件的电阻均值有显著变化？,192,三.两个正态总体均值差的检验(,t-,检验):,2.,对于,1,2,2,2,已知时,可用“,u-,检验方法”检验.,单侧检验“,H,0,:,1,2,”,和,“,H,0,:,1,2,”,可以类似地推出.,注,193,例,2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议,是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每,炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同.,先用标准方法炼一炉,然后手建议的方法炼一炉,以后交,替进行,各炼了10炉,其得率分别为:,标准方法,:,78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3,新方法,:,79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1,设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体,N(,1,2,),和,N(,2,2,),1,2,2,均未知.问建议的新的操作方法能否提,高得率?,194,四.基于成对数据的检验(,t,-,检验):,设,X,和,Y,是两个正态总体,均值分别为,1,和,2,.,X,和,Y,不是相互独立的,取成对样本:(,X,1,Y,1,),(X,2,Y,2,),(,X,n,Y,n,).,要检验,H,0,:,1,=,2,H,1,:,1,2,.,例,3 有两台光谱仪,I,x,I,y,用来测量材料中某种金属的含量,为,鉴定它们的测量结果有无显著的差异,制备了9件试块 (它,们的成份,金属含量,均匀性等均各不相同),现在分别用这,两台仪器对每一试块测量一次,得到9对观察值如下:,x,(%)0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00,y,(%)0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89,问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？,195,3.正态总体方差的假设检验,(,一)单个总体的情况:,例,1.某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方,差,2,=5000(小时,2,)的,正态分布,现有一批这种电池,从它的,生产情况来看,寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池,测得其寿命样本方差为,s,2,=9200(,小时,2,).问根据这一数据能,否推断这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化(取,=0.02)?,196,(,二)两个总体的情况:,说明,197,例,2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议,是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每,炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同.,先用标准方法炼一炉,然后手建议的方法炼一炉,以后交,替进行,各炼了10炉,其得率分别为:,标准方法,:,78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3,新方法,:,79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1,设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体,N(,1,1,2,),和,N(,2,2,2,),1,2,1,2,2,2,均未知.,试对数据检验假设(=0.01),H,0,:,1,2,=,2,2,H,1,:,1,2,2,2,.,198,总,复,习,一.主要内容：,二.考前答疑：,三.考试时间：,199,