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分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型
一、 分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
二、及分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（）
②分式无意义：分母为0（）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
⑥分式值为1：分子分母值相等（）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（0）

三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

四、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子及分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子及分母的公因。
3．注意：①分式的分子及分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子及分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

五、分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成及原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
六、分式的四则运算及分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，及被除式相乘。式子表示为：
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
整式及分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：
（）
） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。

八、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

九、列分式方程——基本步骤：
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。

分式典型例题
一、 分式
（一）从分数到分式
题型1：考查分式的定义
例：下列式子中，、8a2b、-、、、2-、、 、、、、、中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
⑴； ⑵ ；⑶；⑷；⑸；⑹.
（2）下列式子，哪些是分式？
； ；； ；；.

题型2：考查分式有，无意义，总有意义
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；
（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；
注意：（≠0）
例1：当x 时，分式有意义； 例2：分式中，当时，分式没有意义
例3：当x 时，分式有意义。 例4：当x 时，分式有意义
例5：，满足关系 时，分式无意义；
例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）
A． B. C. D.
例7：使分式 有意义的x的取值范围为（　　）A．　B．　C．　D．
例8：要是分式没有意义，则x的值为（ ） A. 2 1或-3 C. -1 D.3
题型3：考查分式的值为零的条件
使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式的值为0 例2：当x 时，分式的值为0
例3：如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. B.2 C. D.以上全不对
例4：能使分式的值为零的所有的值是 （ ）
A B C 或 D或
例5：要使分式的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 3 D 2
例6：若,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数
题型4：考查分式的值为正、负的条件
【例】（1）当为何值时，分式为正；
（2）当为何值时，分式为负；
（3）当为何值时，分式为非负数.
二、分式的基本性质
题型1：分式的基本性质的应用
分式的基本性质：分式的分子及分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1： ； ；如果成立,则a的取值范围是；
例2：
例3：如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
例4：如果把分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
例5：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例6：若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（ ）
A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变 D．缩小6倍
例7：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例8：根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A B C D
例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， ；
例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。
题型2：分式的约分及最简分式
①约分的概念：把一个分式的分子及分母的公因式约去，叫做分式的约分
②分式约分的依据：分式的基本性质．
③分式约分的方法：把分式的分子及分母分解因式，然后约去分子及分母的公因式．
④约分的结果：最简分式（分子及分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
例2：下列约分正确的是（ ）
A、； B、； C、； D、
例3：下列式子正确的是( )
A B. C. D.
例4：下列运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
例5：下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
例6：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、
例7：约分： ；= ；； 。
例8：约分： ＝ ； ； ；
； ； 。
例9：分式，，，中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型3：分式的通分及最简公分母:
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）
分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。
“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。
例如：最简公分母就是。
“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。
例如：最简公分母就是
“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。
例如：最简公分母是：
例1：分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
例2：对分式，，通分时， 最简公分母是（ ）
A．２４x2y３ B．１２ｘ２ｙ２　　　Ｃ．２４ｘｙ２　　Ｄ．１２ｘｙ２　
例3：下面各分式：,,,，其中最简分式有（ ）个。
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
例4：分式，的最简公分母是 .
例5：分式a及的最简公分母为；
例6：分式的最简公分母为 。
二、 分式的运算
（一） 分式的乘除
题型1：分式的乘，除，乘方
分式的乘法：乘法法测：·=.
分式的除法：除法法则：÷=·=
分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()(n为正整数)
例题：
计算：（1） （2）
计算：（3） （4）
计算：（5） （6）
计算：（7） （8）
求值题：（1）已知：，求的值。
（2）已知：，求的值。
（3）已知：，求的值。
例题：
计算：（1） （2）= （3）=
计算：（4）= （5） =
求值题：（1）已知： 求的值。
（2）已知：求的值。
练习：计算的结果是（ ）A B C D
化简的结果是（ ）A. 1 B. C. D .
计算：（1）；（2） （3）(a2－1)·÷
（二）分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。
2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式及分式的加减。

例1：= 例2：=
例3：= 例4：=
计算：（1） （2） （3）
（4） －－.

例5：化简等于（ ） A． B． C． D．
例6： 例7： 例8：

例9： 例10：－ 例11：

练习题：（1） （2） （3） +.
（4） （5）
例13：计算的结果是（ ）A B C D
例14：请先化简：，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.
例15：已知： 求的值。

（三） 分式的混合运算
题型1：化简分式
例1： 例2：
例3： 例4：
例5： 例6：
例7 例8：
题型2：分式求值问题：
例1：已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和.
例2：已知x＝2，y＝，求÷的值.
例3：已知实数x满足4x2-4，则代数式2的值为．
例4：已知实数a满足a2＋2a－8=0，求的值.
例5：若 求的值是（ ）．A． B． C． D．
例6：已知，求代数式的值
例7：先化简，再对取一个合适的数，代入求值．
练习题：先化简再求值
（1），其中5. （2）,其中3，2
（3） ；其中85； （4），其中 -1
（5）先化简，再求值：÷(2－).其中x＝－2.
（6）

题型3：分式其他类型试题：
例1：观察下面一列有规律的数：，，，，，，……．根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n为正整数）
例2： 观察下面一列分式：根据你的发现，它的第8项是 ，第n项是 。
例3：当时,分式及互为相反数.
例4：已知，则；
例5： 已知，则（　　）
A． B． C． D．
例6：已知，求的值；
例7：先填空后计算：
①= 。= 。= 。（3分）
②（本小题4分）计算：
解：

=

三、 分式及方程
（一 ）分式方程的解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
1、交叉相乘法：例1．解方程：
2、化归法：例2．解方程：
3、左边通分法：例3：解方程：
4、分子对等法：例4．解方程：
5、观察比较法：例5．解方程：
6、分离常数法：例6．解方程：
7、分组通分法：例7．解方程：

（二）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程无解，求的值。
例2．若关于的方程不会产生增根，求的值。
例3．若关于分式方程有增根，求的值。
例4．若关于的方程有增根，求的值。
（二）分式方程的题型
题型1：化为一元一次的分式方程
（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
(3)解整式方程； (4)验根．
例1：如果分式的值为－1，则x的值是 ；
例2：要使的值相等，则。
例3：当时，方程=2的根为.
例4：如果方程 的解是x＝5，则a＝ 。
例5:解方程：
例6：已知：关于x的方程无解，求a的值。
例7：若分式及的2倍互为相反数，则所列方程为；
例8：当m为何值时间？关于的方程的解为负数？
例9：解关于的方程
例10：解关于x的方程:
例11知关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。
练习题： (1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8） （9）
题型2：分式方程的增根问题：
（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例1：分式方程+1=有增根，则
例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根；
例3：若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。
例4：取 时，方程会产生增根；
例5：若关于x的分式方程无解，则m的值为。
例6：当k取什么值时？分式方程有增根.
例7：若方程有增根，则m的值是（ ）A．4 B．3 C．-3 D．1
例8：若方程有增根，则增根可能为（ ）
A、0 B、2 C、0或2 D、1
题型3：公式变形问题：
例1：已知公式（），则表示的公式是（ ）
A． B． C． D．
例2：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：＋＝. 若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝ 厘米.
例3：已知梯形面积S、a、b、h都大于零，下列变形错误是（ ）
A． B. C. D.
例4：已知,则M及N的关系为( )
A. M>N <N D.不能确定.

题型4：分式的应用题
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
应用题有几种类型；
1.营销类应用性问题
2.工程类应用性问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
3.行程中的应用性问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
4.轮船顺逆水应用性问题：v顺水静水水． v逆水静水水．
5.浓度应用性问题
6.耕地问题
7.数字问题
一、营销类应用性问题

总价值
价格
数量
甲
2000元

乙
4800元

混合

X元

例1．1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料及总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？
解：设混合后的单价为每千克 元，则甲种原料的单价为每千克元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为，乙种原料的重量为，依题意，得：
＋=，解得，
经检验，是原方程的根，所以． 即混合后的单价为每千克17元．
例1．2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
　　解： 两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0>0≠n)，依题意，得：
　　　　 采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，　
　　　　采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．
　　　　而＞0．
也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．
例1．3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？
解： 可以列出三个等量关系：1．2月份销售量一1月份销售量=5000
2．2月份销售量×2月份利润=2月份总利润 3．1月份利润一2月份利润=0.4

二、工程类应用性问题
例2．1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？

单独做所需时间
一天的工作量
实际做时间
工作量
甲
x天

2天

1
乙

（2+1）天
解析：

等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1
例2．2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？

输入汉字数
每分钟输入个数
所需时间
甲
1500个
x个/分

乙
1500个
3x个/分

解析：

等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）
例2．3 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
解析1：

工作总量
一天的工作量
所需天数
原计划情况
960公顷
x公顷

实际情况
960公顷
（40）公顷

等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）
解析2：

工作总量
所需天数
一天的工作量
原计划情况
960公顷

实际情况
960公顷

等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）

例2．4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
解：⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意可得：
①×＋②×＋③×，得＋＋=．④
④－①×，得=，即z = 30，
④－②×，得=，即x = 10，
④－③×，得=，即y = 15．
经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．
⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得
由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．
此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元．
所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．
评析：在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．
例2．5 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？　
　　解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，
　　　　　那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.
　　　　　设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得
　　　　　，解得　． 　即规定日期是6天．
例2．6 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？
　 解： 设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，
　依题意，得：， 解得 x＝11 　经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．
　　　　　即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．
例2．7 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间及乙做60个
所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
解析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是(90 ÷x) 小时，还可用式子 小时来表示。乙每小时做(6)个零件，做60个零件所用的时间是 [60÷(6)] 小时，还可用式子 小时来表示。 等量关系：甲所用时间=乙所用时间

三、行程中的应用性问题
例3.1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？

所行距离
速度
时间
快车
96千米
x千米/小时

慢车
96千米
（12）千米/小时

分析：

等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）
例3.2 甲、乙两地相距828，一列普通快车及一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间。
解：设普通快车车的平均速度为／h，则直达快车的平均速度为1.5／h，依题意，得
=，解得，经检验，是方程的根，且符合题意．∴，，
即普通快车车的平均速度为46／h，直达快车的平均速度为69／h．
例3.3 A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。

分析：

所行距离
速度
时间
甲
（87-45）千米
x千米/小时

乙
45千米
（4）千米/小时

等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）
例3.4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
　 解： 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：　　　
　　　　　　方程两边都乘以2x，去分母，得30-15＝x，　　所以，x＝15．　　
　　　　　检验：当x＝15时，2x＝2×15≠0，所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．
　　　　　∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．
例3.5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
　 解： 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：
　　　　 解得　x＝15． 经检验x＝15是这个方程的解．
　　　　当x＝15时，3x＝45．　即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时
例3.6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A及B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲及乙的速度之比。
分析：

等量关系：甲走的时间-乙走的时间=35分钟

四、轮船顺逆水应用问题
例4．1 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。
分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度
逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度

路程
速度
时间
顺流
48千米
(4)千米/小时

逆流
48千米
(4)千米/小时

等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）
例4．2 轮船在顺水中航行30千米的时间及在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。
解析：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即=．设船在静水中的速度为千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．
解： 设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得=，解得．经检验，是所列方程的根． 即船在静水中的速度是10千米／时．

五、浓度应用性问题
例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
分析：设加入盐千克．浓度问题的基本关系是：=浓度．

溶液
溶质
浓度
加盐前
40
40×15%
15%
加盐后
40＋
40×15%＋
20%
解：设应加入盐千克，依题意，得=．
100(40×15%＋) = 20(40＋)，解得．经检验，是所列方程的根，即加入盐2.5千克．

六、耕地问题
1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000和15000,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000,分别求这块试验田每公顷的产量。

2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。

3、 退耕还林还草是我国西部实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林及退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X公顷，那么应满足的分式方程是什么？
七．数字问题
例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数.
例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字及个位数字对调，所得到的新的两位数及原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。
例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。
例4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，
所得到的商是2，求这个两位数。

分式方程应用题课后练习
1. 营销类应用性问题
1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2） 若按批发价购买6枝及按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人
（3） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（4） 若按批发价购买6枝及按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

2、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？

3、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

4、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

5、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价。

6、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17。5元，那么混合销售及分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

7、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？

8、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

9、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

10、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

2. 工程问题
1、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？

2、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么 ？

3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小