数据拟合试题及答案.doc

1．用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？
2.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中是电容器的初始电压， 是充电常数。试由下面一组t，V数据确定， 。
t
0.5
1
2
3
4
5
7
9
v
6.36
6.48
7.26
8.22
8.66
8.99
9.43
9.63

1.解：程序如下：
x=1:0.5:10;
y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;
y0=y+rand;
f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数
y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值
plot(x,y,'+',x,y1)
grid on
title('一次拟合曲线');
figure(2);
f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合
y2=polyval(f2,x);
plot(x,y,'+',x,y2);
grid on
title('二次拟合曲线');
figure(3);
f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合
y3=polyval(f4,x);
plot(x,y,'+',x,y3)
grid on
title('四次拟合曲线');
figure(4);
f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合
y4=polyval(f6,x);
plot(x,y,'+',x,y4)
grid on
title('六次拟合曲线');
运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）
f1 =43.2000 -149.0663
f2 = 10.5000 -72.3000 89.8087
f4 =0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5913
f6 = 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.4199

运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。作图后，发现一次和二次多项式的图形与原函数的差别比较大，属于欠拟合的情况，而四次多项式和六次多项式符合得比较好。作图如下：

2.解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。(已知V=10)可见，v(t)与τ成指数变化关系，所以在通过曲线拟合的时候，使用指数曲线y＝a1ea2x。(非线性拟合)。首先进行变量代换在程序中用v1代替v(t)，t0代替τ,v2是拟合后的曲线方程：
对变形后取对数，有
令y=ln(10-) ,f1=ln(10-) ,f2= -1/t0,则
v0=10-exp(f(2))， t0= -1/ f(1)。
编写程序如下：
t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];
v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];
y=log(10- v1);
f=polyfit(t,y,1)
t0=-1/f(1)
v0=10-exp(f(2))
v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);
plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:')
grid on
xlabel('时间t(s)'),ylabel('充电电压(V)');
title('电容器充电电压与时间t的曲线');
程序运行输出结果如下：
f =-0.2835 1.4766
t0 = 3.5269 v0 =5.6221
即电容器的初始电压为 v0 =5.6221，τ=3.5629。

3.