数值分析重点公式.doc

第一章 非线性方程和方程组的数值解法
1）二分法的基本原理，误差：
2）迭代法收敛阶：，若则要求
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当时，且，，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设满足：①时，，
②
则对任意初值迭代收敛，且：

定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的ó（Taylor展开证明）
4）Newton迭代法：，平方收敛
5）Newton迭代法收敛定理：
设在有根区间上有二阶导数，且满足：
①：；
②：；
③：
④：初值使得；
则Newton迭代法收敛于根。
6）多点迭代法：
收敛阶：
7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改
①：已知根的重数r，（平方收敛）
②：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。
8）迭代加速收敛方法：
当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛
9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根

10）拟Newton法

其中
11）秩1拟Newton法：

Broyden秩1方法

第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数：
①：非负性：，且的充要条件是；
②：齐次性：
③：三角不等式：
1范数：
2范数：
范数：
p范数：
2）矩阵范数：
①：非负性：，且的充要条件是；
②：齐次性：
③：三角不等式：
④：乘法不等式：
F范数：
1范数：，列和最大
范数：，行和最大
2范数：，其中，为的特征值，
3）Gauss消元法（上三角阵）：；
Gauss-Jordan消元法（对角阵）：；
列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）
全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；
4）三角分解法：
①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵
②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵
③：Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵
④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵，D为对角阵
⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程
5）矩阵的条件数，谱条件数：

6）如果，则为非奇异阵，且
7）迭代法基本原理：
①：迭代法：
②：(ó，迭代格式收敛)
③：至少存在一种矩阵的从属范数，使
8）Jacobi迭代：

9）Gauss-Seidel迭代：
10）超松弛迭代法
11）二次函数的一维搜索：
12）最速下降法：
选择方向
进行一维搜索：，其中
13）共轭梯度法：
第一步：最速下降法，，，
第二步：过选择的共轭方向，其中，过以为方向的共轭直线为，进行二次函数的一维搜索
14）一般的共轭梯度法：
第三章 插值法与数值逼近
1）Lagrange插值：，

余项：
2）Newton插值：差商表

余项
3）反插值
4）Hermite插值（待定系数法）
其中

余项：
5）分段线性插值：
插值基函数：

余项：分段余项
6）有理逼近：反差商表
有理逼近函数式：
7）正交多项式的计算：
定理：在上带权函数的正交多项式序列，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定

其中
定理3.8
8）连续函数的最佳平方逼近：在上，法方程为，
其中，
均方误差：
最大误差：
9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：
法方程
其中
第四章 数值积分
1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。
2）Lagrange插值代入
Lagrange插值基函数
，其中
误差：
定理：数值积分公式具至少有n次代数精度ó其是差值型的
3）等距节点的Newton-Cotes公式
将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中；
，令（Cotes系数）则：

N-C公式的数值稳定性：当同号时是稳定的，否则不稳定，（其中）
N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次；
余项：
当n为偶数时，
当n为奇数时，
4）复化的N-C公式
复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式

复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式

5）Romberg积分法

逼近的阶为

6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；
7）Gauss求积公式

在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权正交ó上式为Gauss求积公式、
8）Gauss-Legendre求积公式
给出公式：、、······
给出区间[1,-1]上的求积公式，取的零点为求积节点
① 取零点为0

② 取零点为

对于区间[a,b]上的Gauss求积公式，令，，则：

余项：
第五章 乘幂法
1）基本定理：
定理一：若为A的特征值，为某一多项式，则矩阵的特征值是。特别地，的特征值是。
定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。
定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使，则A与B有相同的特征值。
定理四：如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使得，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。
定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得，其中T是一个上三角矩阵，是是共轭转置矩阵。
推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使，其中D是对角矩阵，它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并且。
定理六：设是以为中心的一些圆，其半径为，设，则A的所有特征值都位于区域内。
推论：的谱半径满足。
定理七：设A为对称正定阵，则有，，其中，x是任意复向量，表示x的共轭转置。
定理八：对任意非奇异矩阵A，有，其中为A的任一特征值。
2）求按模最大的特征值和对应的特征向量
，
3）
第六章 常微分方程的数值解法（差分法）
1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分
2）Euler公式：
Euler隐式（1阶）
改进的Euler公式（2阶精确解）
3）截断误差和P阶精确解：截断误差
4）S级Runge-Kuta法

2级Runge-Kuta法
（2阶精度）
的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法）
5）单步法（*）
相容性：则（*）式与初值问题相容
收敛性：对于固定的当时有则称（*）式收敛
数值稳定性：若一数值方法在上有扰动而于以后的各节点值上产生的偏差均不超过，则称该方法绝对收敛
试验方程：用以求解绝对稳定区间
绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定
6）线性多步法德一般格式：
局部阶段误差（系数通过Taylor展开构造）
其中
线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数
7）线性多步法的收敛性判断：称线性多步法相容
满足根条件：第一特征多项式，
第二特征多项式
当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件
收敛ó相容且满足根条件
8）数值稳定性判断：
稳定多项式（特征多项式）
令，是稳定多项式的根，
①：若对任意有，且当时，为单根，则称为相对稳定区间；
②：若对任意有，则称为绝对稳定区间