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重庆第十一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（    ）
A． B． C． D．
2．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ）
A．4 B．2 C． D．
3．我们知道，函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和到数值求函数的增量或函数值的近似值，我们可以用它计算的近似值为（    ）
（，）
A． B． C． D．
4．函数​的单调递增区间是（    ）
A．​
B．​和​
C．​
D．​
5．已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
7．函数的大致图象为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
8．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ）
A．的图象关于中心对称
B．有3个不同的零点
C．最小值为
D．对任意，都有
11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立

三、填空题
12．已知函数有极值，则a的取值范围是 .
13．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是
14．若，则实数最大值为 .

四、解答题
15．函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值
(2)求函数的单调区间．
16．已知关于x的函数，其导函数.
（1）如果函数在x=1处有极值试确定b、c的值；
（2）设当时，函数图象上任一点P处的切线斜率为k，若，求实数b的取值范围.
17．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．
18．已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的范围；
(2)若实数，求的单调递增区间；
(3)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．D
5．D
6．C
7．A
8．A
9．ABC
10．ABD
11．ACD
【解析】对于A，定义域，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
定义域，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，故A正确；
对于B，若方程有唯一实根，
由于当时，，且，
结合已求的单调性和最值可知，或，故B错误；
对于C，因为方程有两个不同的实根，假设，则，
则，即，两式相减得，
即，由对数均值不等式，
则，即得证，故C正确；
对于D，当时，若，则，
即，显然，则，
则成立，故D正确.
故选：ACD
下面补证C选项对数均值不等式：
要证，即证，
设，即证，即证，
令，，
则在单调递增，当时，得证.
12．
【解析】∵，
∴．
①若函数在上单调递增，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
由于在上无最大值，
∴函数在上不单调递增．
②若函数在上单调递减，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
∴．
综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是，此时有极值．
故答案为：.
13．
【解析】解：对于任意∈，当＞时，恒有a（ln﹣1n）＜2（﹣）成立，
即恒有aln﹣2＜a1n﹣成立，
令f（x）＝alnx﹣2x，则f（x）在上为减函数，
则f′（x）0在上恒成立，
∴a≤2x在上恒成立，
即a≤4．
∴实数a的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．
14．
【解析】， 定义域为，
则，
令，
则，在上单调递增，
且时，当时，
使得 即
当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由得①，
即，代入②得，，
整理得
，
∴，
∴，
，
故的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
15．(1)
(2)单调递增区间是，单调递减区间是，．

【解析】（1），
∴，又，
∴在处的切线方程为，即，
∴，解得．
（2）∵，，
∴，
当或时，；当时，，
故的单调递增区间是，单调递减区间是，．
16．（1）或；（2）.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，由题意可得f（1）=，，f′（1）=0，解方程可得b，c，检验是否由极值点；
（2）求得函数y，求出导数，由题意可得恒成立，设，求出的最小值，即可得到的范围．
试题解析：
.
（1）因为函数在处有极值
  所以  ,解得或.
（i）当时，,
所以在上单调递减，不存在极值.
（ii）当时，,
时，，单调递增;时，，单调递减;
所以在处存在极大值，符合题意.
综上所述，满足条件的值为.    .    
（2）当时，函数,
设图象上任意一点，则，
因为，所以对任意，恒成立，
所以对任意，不等式恒成立.
设，故在区间上单调递减，
所以对任意，,所以.    
17．(1)
(2)

【解析】（1）由题意，，则，
又，故所求的切线方程为．
（2）由题意，，故．
若，则，故当时，，当时，，
故当时，函数取到极小值；
若，则令，解得或，
要使函数在处取到极小值，则需，即，
此时当时，，当时，，当时，，满足条件．
综上，实数m的取值范围为．
18．(1)
(2)答案见解析
(3)

【解析】（1）的定义域为，求导得，
函数在定义域内单调递增，故在恒成立，
所以恒成立，则，即.
（2）令，得，，
若时，，方程的两根为，，
当时，，，则时，，故在单调递增；
当时，，则或时，，
故在和上单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，.
（3）由上可知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根，
∴，∴，，，
此时不等式恒成立，
等价于对恒成立，
可化为恒成立，
令，，
则，
∵，∴，，∴在恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
∴，故实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得

所以

即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.

答案第9页，共9页