初中数学方程及方程的解知识点总结.doc

知识点1：
一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．
一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．
一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)．
不定方程: 一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。
代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程与无理方程。
等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；
4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；
5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。
矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．
知识点2：
二元一次方程
有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．
二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．
解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
二元一次方程组的两种解法：
（1）代入消元法，简称代入法．
①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．
②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．
④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．
2）加减消元法，简称加减法．
①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．
②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．
④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．
二元一次方程组解的情况：
知识点3：
一元一次不等式（组）：
不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如
ax<b或ax>b(a≠0)
几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
不等式基本性质：
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化成1
(如果乘数与除数是负数，要把不等号改变方向)
一元一次不等式组的解法步骤： (1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．
（2)在数轴上表示各个不等式的解集．(3)写出不等式组的解集．
一元一次不等式组的四种情况：
知识点4
一元二次方程
基本概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.
一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解法：
1．解一元二次方程的直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．
2．解一元二次方程的配方法
先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．
3．解一元二次方程的公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
4．解一元二次方程的因式分解法
在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．
一元二次方程的解
1．方程的根为 .
A．x=2 B．x=-2 C．x1=2,x2=-2 D．x=4
2．方程x2-1=0的两根为 .
A．x=1 B．x=-1 C．x1=1,x2=-1 D．x=2
3．方程（x-3）（x+4）=0的两根为 .
A.x1=-3,x2=4 B.x1=-3,x2=-4 C.x1=3,x2=4 D.x1=3,x2=-4
4．方程x(x-2)=0的两根为 .
A．x1=0,x2=2 B．x1=1,x2=2 C．x1=0,x2=-2 D．x1=1,x2=-2
5．方程x2-9=0的两根为 .
A．x=3 B．x=-3 C．x1=3,x2=-3 D．x1=+,x2=-
方程解的情况及换元法
1．一元二次方程的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 .
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 没有实数根
9. 用 换 元 法 解方 程 时, 令 = y,于是原方程变为 .
A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0
10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为 .
A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=0 C.-5y-4y-1=0 D. -5y-4y-1=0
11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 .
A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0
知识点5：直角坐标系与点的位置
1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。
2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.
3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限.
4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限.
5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.
知识点6：基本函数的概念及性质
1．函数y=-8x是一次函数.
2．函数y=4x+1是正比例函数.
3．函数是反比例函数.
4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.
5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
6．抛物线的顶点坐标是(1,2).
7．反比例函数的图象在第一、三象限
练习
. 1．下列函数中,正比例函数是 .
A. y=-8x B.y=-8x+1 C.y=8x2+1 D.y=
2．下列函数中,反比例函数是 .
A. y=8x2 B.y=8x+1 C.y=-8x D.y=-
3．下列函数：①y=8x2；②y=8x+1；③y=-8x；④y=-.其中,一次函数有 个 .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点7：自变量的取值范围
1．函数中，自变量x的取值范围是 .
A.x≠2 B.x≤-2 C.x≥-2 D.x≠-2
2．函数y=的自变量的取值范围是 .
A.x>3 B. x≥3 C. x≠3 D. x为任意实数
3．函数y=的自变量的取值范围是 .
A.x≥-1 B. x>-1 C. x≠1 D. x≠-1
4．函数y=的自变量的取值范围是 .
A.x≥1 B.x≤1 C.x≠1 D.x为任意实数
5．函数y=的自变量的取值范围是 .
A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.x为任意实数
知识点8：函数图像问题
1．已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是 .
A. (2，-3) B. (2，1) C. (2，3) D. (3，2)
2．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .
A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)
3．一次函数y=x+1的图象在 .
A.第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
4．函数y=2x+1的图象不经过 .
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5．反比例函数y=的图象在 .
A.第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
6．反比例函数y=-的图象不经过 .
A第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
7．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .
A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)
8．一次函数y=-x+1的图象在 .
A．第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
9．一次函数y=-2x+1的图象经过 .
A．第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A(-1,y1)、B(,y2)、C(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是 .
A.y3<y1<y2 B. y2<y3<y1 C. y3<y2<y1 D. y1<y3<y2
知识点9：基本函数图像与性质
1．若点A(-1,y1)、B(-,y2)、C(,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则下列各式中不正确的是 .
A.y3<y1<y2 B.y2+y3<0 C.y1+y3<0 D.y1•y3•y2<0
2．在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),若x2<0<x1 ,y1<y2,则m的取值范围是 .
A.m>2 B.m<2 C.m<0 D.m>0
3．已知:如图,过原点O的直线交反比例函数y= 的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为S,则 .
A.S=2 B.2<S<4 C.S=4 D.S>4
4．已知点(x1,y1)、(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上, 下列的说法中:
①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当0<x1<x2时, y1<y2;④点(-x1,-y1) 、(-x2,-y2)也一定在此反比例函数的图象上,其中正确的有 个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5．若反比例函数的图象与直线y=-x+2有两个不同的交点A、B，且∠AOB<90º，则k的取值范围必是 .
A. k>1 B. k<1 C. 0<k<1 D. k<0
6．若点(，)是反比例函数的图象上一点，则此函数图象与直线y=-x+b（|b|<2）的交点的个数为 .
A.0 B.1 C.2 D.4
7．已知直线与双曲线交于A（x1，y1）,B（x2，y2）两点,则x1·x2的值 .
A.与k有关，与b无关 B.与k无关，与b有关
C.与k、b都有关 D.与k、b都无关
知识点10：因式分解
1.分解因式：x2-x-4y2+2y= .
2.分解因式：x3-xy2+2xy-x= .
3.分解因式：x2-bx-a2+ab= .
4.分解因式：x2-4y2-3x+6y= .
5.分解因式：-x3-2x2-x+4xy2= .
6.分解因式：9a2-4b2-6a+1= .
7.分解因式：x2-ax-y2+ay= .
8.分解因式：x3-y3-x2y+xy2= .
9.分解因式：4a2-b2-4a+1=
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