泊松过程.pptx

1计数过程：计数过程：称随机过程称随机过程N(t),t0为计数过程，若为计数过程，若N(t)表示到时刻表示到时刻t为止已发生的为止已发生的“事事件件A”的总数，且的总数，且N(t)满足下列条件：满足下列条件：1.N(t)0;2.N(t)取正整数值；取正整数值；3.若若st，则，则N(s)N(t)；4.当当s0），事件），事件A发生的次数发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时仅与时间差间差s有关，而与有关，而与t无关。无关。2泊松过程定义泊松过程定义1：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数00的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件：1 1、X(0)=0X(0)=0；2 2、X(t)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3 3、在任一长度为、在任一长度为t t的区间中，事件的区间中，事件A A发生的次数服从参数发生的次数服从参数0的泊松分布，的泊松分布，即对任意即对任意s,t0，有，有泊松过程同时也是平稳增量过程泊松过程同时也是平稳增量过程表示单位时间内事件表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率或发生的平均个数，故称为过程的速率或强度强度3泊松过程定义泊松过程定义2：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件：1.X(0)=0；2.X(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；3.X(t)满足下列两式：满足下列两式：例如：例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；机器在一段时间内发生故障的次数；保险的理赔保险的理赔4定理定理：定义定义1和定义和定义2是等价的。是等价的。例子：设交换机每分钟接到电话的次数例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为是强度为的的泊松过泊松过程。求程。求(1)两分钟内接到两分钟内接到3次呼叫的概率。次呼叫的概率。(2)第二分钟内接到第第二分钟内接到第3次呼叫的概率。次呼叫的概率。5泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征设设X(t),t0是泊松过程，对任意的是泊松过程，对任意的t,s 0,)，且，且s=1）次就会出现故障，求仪器在时刻）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常正常工作的概率。工作的概率。10到达时间的条件分布到达时间的条件分布假设在假设在0,t内时间内时间A已经发生一次，我们要确定这一时间到达时间已经发生一次，我们要确定这一时间到达时间W1的的分布。分布。泊松过程泊松过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程可以认为可以认为0,t内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达事件应在说，这个事件的到达事件应在0,t上服从均匀分布。对于上服从均匀分布。对于st有有分布函数分布函数分布密度分布密度11定理：定理：设设X(t),t0是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,t内事件内事件A发生发生n次，则这次，则这n次到达事件次到达事件W1W2,Wn与相应于与相应于n个个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。有相同的分布。例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，且次，且0st，对于，对于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，求第次，求第k(kn)次事件次事件A发生的时间发生的时间Wk的条的条件概率密度函数。件概率密度函数。12例题例题设设X1(t),t 0和和X2(t),t 0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为内平均出现的事件数分别为1和和2，记，记 为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时次事件到达时间，间，为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求例题例题有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约客元，设签约客户为参数为户为参数为的泊松过程，求公司在的泊松过程，求公司在(0，t时间段内的总收入。时间段内的总收入。13非齐次泊松过程非齐次泊松过程允许时刻允许时刻t的来到强度是的来到强度是t的函数的函数定义：定义：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数(t)(t)的非齐次泊松过程，若的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：它满足下列条件：1.1.X(0)=0X(0)=0；2.2.X(t)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3.3.非齐次泊松过程的均值函数为非齐次泊松过程的均值函数为14定理：定理：设设X(t),t0为具有均值函数为具有均值函数 非齐次泊松过程，非齐次泊松过程，则有则有或或15到达时间的条件分布到达时间的条件分布16例题例题设设X(t),t0是具有跳跃强度是具有跳跃强度 的非齐次泊的非齐次泊松过程（松过程（0），求），求EX(t)和和DX(t)。例题例题设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：时有车发出，乘客流量如下：5时时按平均乘客为按平均乘客为200人人/时计算；时计算；5时至时至8时乘客平均到达率按线性增加，时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为时到达率为1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均到达率不变；时保持平均到达率不变；18时到时到21时从到达率时从到达率1400人人/时按线性下降，到时按线性下降，到21时为时为200人人/时。假定乘客时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至时至14时有时有2000人来人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。17复合泊松过程复合泊松过程定义：定义：设设N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程，的泊松过程，YYk k,k=1,2,k=1,2,是一列独立同分布是一列独立同分布随机变量，且与随机变量，且与N(t),t0独立，令独立，令则称则称X(t),t0为复合泊松过程。为复合泊松过程。N(t)YkX(t)在时间段在时间段(0,t内来到商店的顾客数内来到商店的顾客数第第k个顾客在商店所花的钱数个顾客在商店所花的钱数该商店在该商店在(0,t时间段内的营业额时间段内的营业额18定理定理设设 是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则1.X(t),t0是独立增量过程；是独立增量过程；2.X(t)的特征函数的特征函数 ，其中，其中 是随机是随机变量变量Y1的特征函数，的特征函数，是时间的到达率；是时间的到达率；3.3.若若E(YE(Y1 12 2)，则，则19泊松过程的分解泊松过程的分解例题例题设到达某商场的顾客组成强度为设到达某商场的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若，且与其他顾客是否购买商品无关，若X(t)，t0为购买商品的顾客数，为购买商品的顾客数，证明证明X(t)，t0是强度为是强度为 p的泊松过程。的泊松过程。泊松过程的分解：泊松过程的分解：强度为强度为的泊松过程，事件的泊松过程，事件A在时刻在时刻s到达，则此到达可分解成概率为到达，则此到达可分解成概率为P(s)的的type-1到达和概率为到达和概率为1-P(s)的的type-2到达，用到达，用Ni(t)，t0，i=1,2，表示，表示type-i在时间在时间(0,t的达到次数，则有的达到次数，则有20泊松过程的分解可推广到泊松过程的分解可推广到n个类型，用个类型，用Pi(s)表示表示type-i在时刻在时刻s达到的概率，达到的概率，定义：定义：则则Ni(t)，t0为参数为参数 pi的泊松分布，且的泊松分布，且Ni(t)相互独立相互独立例：某沙滩汽车的到达服从指数为例：某沙滩汽车的到达服从指数为的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分布为布为G(s)，假定各汽车逗留时间，假定各汽车逗留时间之间，之间，以及逗留时间与到达时间之间相互以及逗留时间与到达时间之间相互独立，用独立，用N1(t)表示时刻表示时刻t沙滩上汽车的数量，沙滩上汽车的数量，N2(t)表示时刻表示时刻t离开沙滩离开沙滩的汽车数量，则的汽车数量，则N1(t)和和 N2(t)是一个是一个type-1和和type-2的分解。的分解。21v作业作业 3.1 3.5 3.7