2020北京重点校初二(上)期中数学汇编：尺规作图及轴对称.docx

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编
尺规作图及轴对称
一、单选题
1．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
2．（2020·北京师大附中八年级期中）在 中，， ，点是边 上一定点，此时分别在边 ，上存在点 ，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·北京四中八年级期中）我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：

（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
（3）以为圆心，为半径作弧，交于；
（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；
（5）连接作射线则就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（   ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京四中八年级期中）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（  ）
A． B． C． D．
5．（2020·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（　　）
A．（4，4） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（3，4）
6．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2020·北京二中八年级期中）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出）

8．（2020·北京四中八年级期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为______．

9．（2020·北京四中八年级期中）已知锐角如图

（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
（2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；
（3）作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
；；；
10．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．

11．（2020·北京师大附中八年级期中）点（3，）关于轴的对称点的坐标是__________．
12．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．

小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ，  （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
三、解答题
13．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

(1)非等边的等腰三角形有　　条对称轴，等边三角形有　　条对称轴；
(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
14．（2020·北京二中八年级期中）已知：如图，请用尺规作图法在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC． 小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在∠CAB的内部相交于点E．
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以 点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．” 请回答：

(1)请在图1中补全小明的作图过程（要求尺柜作图，保留作图痕迹）．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是__________≌__________，全等的依据是_______．
因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
(2)对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵
∴∠BAP＝∠___________（_______）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC
(3)点P到直线AC和AB的距离相等，理由是____________．
15．（2020·北京八十中八年级期中）在△ABC中，AD ⊥BC．
求作：△ABC，使AB=m，BC=n，AD=h．(作出所有满足条件的△ABC)

16．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．

（1）依据题意，补全图形．
（2）求证：．
（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．
17．（2020·北京四中八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

18．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图2：
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝　 　，PA＝　 　，
∴PQ⊥l （　 　）（填推理的依据）．

19．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图，在中，．
用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明
当满足的点P到AB、BC的距离相等时，求的度数．

参考答案
1．B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.
【详解】如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，
则，，
所以、M、N、共线时，周长最小。
作、、关于的垂线，垂足为、、，
由梯形的性质，得，
在中，，
设，，，，
则由，
，
令，由，得，
所以，
即，
化简得，
所以，
又因为平分，故，
所以，
若，则，解得（负根舍去），
此时 ，
同理可知，若或均可得，
所以，
故选B

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.
3．C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
4．D
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
5．A
【分析】根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】解：∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．
6．D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.
7．4，画图见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示：
故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
8．
【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得，；结合，通过计算即可得到答案．
【详解】如下图，连接AD

根据题意得：，
∴
∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、
∴，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．
9．②③④．
【分析】根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．
【详解】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分线段CD，
∴CQ=DQ
∴CP=2QC
故②③④正确，
故答案为②③④．
【点睛】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
10．2
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（3,2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P'的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
【详解】点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．
12．尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.
【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.
【详解】如图，

∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
13．(1)1，3
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；
（2）仿照题意进行设计即可；
（3）仿照题意进行设计即可；
（4）仿照题意进行设计即可．
（1）
解：非等边的等腰三角形有1条对称，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：1，3；
（2）
解：恰好有1条对称轴的凸五边形如图所示

（3）
解：恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示

（4）
解：恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
14．(1)△AME，△ANE，SSS；
(2)CPA，两直线平行，内错角相等；
(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作出对应的角平分线，根据作图过程和全等三角形的判定即可解答；
（2）根据等腰三角形的等边对等角性质和平行线的性质证得∠CAP＝∠BAP即可；
（3）根据角平分线的性质定理解答即可．
（1）
解：如图1，AP为所作：

根据作图的过程，得AM=AN，EM=EN，又AE=AE，故可构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP，
故答案为：△AME，△ANE，SSS；
（2）
解：对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角），
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAP＝∠BAP，
∴射线AP平分∠BAC．
故答案为：CPA，两直线平行，内错角相等；
（3）
解：点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和性质定理；熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
15．作图见解析
【分析】先作射线 在上截取 以为圆心，任意长为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，再过这个交点与作射线 在射线上截取 按同样的方法作 再以B为圆心，的长为半径作弧，交于 按同样的方法过作 交于 则 则是所求作的三角形.
【详解】解：如图，都是符合要求的三角形，

【点睛】本题考查的是尺规作图，掌握“根据已知线段或角作三角形”是解题的关键.
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）依据题意画出图形即可；
（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；
（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．
【详解】（1）解：如图3所示即为所求：

证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，

∵AE⊥BD，AH⊥DH，
∴∠AED＝∠H＝90°．
∴∠EDH＋∠EAH＝180°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．
又∵∠BDC＝2∠ABC，
∴∠BDC＋∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝∠EAH．
∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．
即∠BAE＝∠CAH．
在△ABE和△ACH中，
∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS）．
∴AE＝AH，BE＝CH．
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AE＝AH，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．
∴DE＝DH．
∴DE＝BE＋CD；
证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，

∵翻折△BCD得到△BCG，
∴BN⊥GD，GN＝DN，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AGF和△DNF中，
∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，
∴△AGF≌△DNF（AAS）．
∴AG＝DN．
∴AG＝GN．
∴A，G两点到直线BC的距离相等．
【点睛】本题为几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17．图见解析，BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】解：如图，△AOC即为所求．

如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到BC．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到DC．
若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．
【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：

（2）证明：连接QA，QB．
∵QA＝QB，PA＝PB，
∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．
19．（1）图形见解析（2）30°
【分析】（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；
（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．
【详解】解:（1）依照题意，画出图形，如图所示．

（2）∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PC=PD．
在Rt△BCP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），
∴BC=BD．
又∵PD垂直平分AB，
∴AD=2BD=2BC．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°．

【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB=2BC．

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