2021北京丰台初二(上)期末数学(教师版).docx

2021北京丰台初二（上）期末
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）若分式的值为0，则的值为　　
A．2 B． C． D．
2．（2分）下面的四个图案分别是“型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（2分）如图所示，的边上的高是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．（2分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（2分）如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为　　
A．15 B．20 C．25 D．20或25
7．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
月份
类别
5月
12月
厨余垃圾分出量（千克）
660
8400
其他三种垃圾的总量（千克）

如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是　　
A．
B．
C．
D．
8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①；
②；
③；
④．
其中所有正确推断的序号是　　
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 　　．
10．（3分）分解因式：　　．
11．（3分）写出一个比大且比小的整数　　．
12．（3分）如图，将沿所在的直线平移得到．如果，，那么　　．

13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式　　．

14．（3分）如图，在中，，，于点，若，则　　．

15．（3分）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么　　．
16．（3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点，均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标　　；满足条件的点一共有　　个．

三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）解分式方程：．
21．（5分）如图，，，．
求证：．

22．（5分）先化简，再求值：，其中．
23．（5分）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线及直线上一点．
求作：，使得，．

作法：如图2，
①在直线上取点；
②分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；
③作直线，交直线于点；
④连接．
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，．
，
是等边三角形．
．
，　　，
点，在线段的垂直平分线上　　（填推理的依据）．
．
．
　　（填推理的依据）．
．
24．（6分）如图，中，，点，分别在边，上，，．求证：平分．

25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有．
运用这个运算规律可以计算：
．
（1）请你运用这个运算规律计算：　　；
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的第次倒出的水量是的按照这种倒水的方法，这水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．
26．（6分）已知：如图，，点在射线上，点，在射线上（点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段，的数量关系，并证明．

27．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”
（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为　　；
（2）如图，在中，，，．
①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；
②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
，，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．【分析】根据三角形高线的定义，过点作交的延长线于点，则为边上的高．
【解答】解：由题意可知，的边上的高是线段．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，负整数指数幂的定义以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．【分析】根据证明，可得结论．
【解答】解：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，，故，，正确；
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，，所以不能构成三角形；
当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．【分析】根据“厨余垃圾分出率”和“该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍”列出方程即可．
【解答】解：根据题意知，．
故选：．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．【分析】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
【解答】解：①，，故①正确；
②，，故②错误；
③，，故③正确；
④，．，故④错误；
即正确的为①③，
故选：．
【点评】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
10．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．【分析】估算出和的大小，即可得出答案．
【解答】解：，而，
，
故答案为：3或4．
【点评】本题考查无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
12．【分析】根据平移的性质得到，然后计算即可．
【解答】解：沿所在的直线平移得到．
，
．
故答案为2.5．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
13．【分析】大长方形的长为，宽为，可得面积为，图中6个小长方形的面积和为，因此即可求解．
【解答】解：大长方形的长为，宽为，则面积为，
图中6个小长方形的面积和为，
可得等式．
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提．
14．【分析】根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解．
【解答】解：，，
，，
，
，
，，
．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．【分析】根据已知算式得出，求出即可．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
16．【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的点，选择正确答案．
【解答】解：满足条件的点的坐标为，，，，，，，，满足条件的点一共有8个，
故答案为：，，，，，，，，8．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．【分析】根据完全平方公式，单项式与多项式相乘的法则计算即可．
【解答】解：

．
【点评】本题考查了完全平方公式，单项式与多项式相乘的法则．熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
18．【分析】先把原式中括号内的分式通分，然后将除法转化为乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：

．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，掌握运算法则是解答的关键．
19．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．【分析】根据全等三角形的判定方法边角边即可证明．
【解答】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式

，
，
，
则原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据作图过程可得是等边三角形．根据线段垂直平分线的性质和直角三角形两个锐角互余即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；

（2）证明：如图，连接，，．

，
是等边三角形．
．
，，
点，在线段的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
．
．
（直角三角形的两个锐角互余）．
．
故答案为：；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．
【点评】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24．【分析】过点作于点，根据全等三角形的判定和性质定理以及平分线的性质即可得到结论．
【解答】证明：过点作于点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
点在的平分线上，
平分．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．
25．【分析】（1）利用拆项方法变形即可得到结果；
（2）①由第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，得出倒2次水倒出的总水量是，第3次倒出的水量是的，那么倒3次水倒出的总水量是，同理得出倒次水倒出的总水量的式子是，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；
②将①的计算结果与1比较即可求解．
【解答】解：（1）

．
故答案为：；

（2）①

；

②这水不能倒完，理由如下：
，
无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于，
因此，按照这种倒水的方法，这水不能倒完．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，分式的混合运算，掌握规律并能够应用规律是解答的关键．
26．【分析】（1）依据点关于直线的对称点为，连接即可．
（2）连接，，先证明，即可得到，进而得出是等边三角形，即可得到．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）猜想：．
证明：连接，，
点关于直线的对称点为，点在射线上，
，，
，
，即，
在中，，
又，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质以及等边三角形的判定与性质．
27．【分析】（1）根据“关联点”的定义即可解决问题；
（2）①作出关于直线轴对称的△，解决问题即可；
②根据题意和，，，即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意可知：
点，点，需满足，
解得，即，
故答案为；
（2）①根据题意，满足，
即，
其中为上的点，
即所有符合题意的点为关于轴对称的点，如图，△即为所求；

②根据题意，需满足，其中，均在上，
，，，
，，且，
．
【点评】本题考查了作图复杂作图，坐标与图形性质，轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题。

16 / 16