第39讲-斜率和积问题与定点定值问题(原卷版).docx

第39讲 斜率和积问题与定点定值问题
一．解答题（共34小题）
1．（2021•西陵区校级月考）已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2），为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，，使其满足：①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上，若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由．
2．（2021•盐湖区校级月考）已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．
3．（2021•汉阳区校级期末）已知椭圆经过点，且两个焦点、的坐标依次为和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程；
4．（2021•杨浦区校级期末）已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程：
（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点．
5．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
6．（2013秋•临川区校级月考）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，，
（1）设动点满足，求点的轨迹方程；
（2）设，，求点的坐标；
（3）若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

7．（2010•江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．

8．（2021•西安一模）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值．
9．（2021春•湖北期中）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

10．（2021春•湛江校级月考）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是经过的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得十？若存在，求的值．

11．（2013•江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

12．（2021•新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
13．（2021•怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．
（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；
（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．

14．（2021•丽水月考）已知椭圆的离心率，，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程．

15．已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、，是坐标原点，则的充要条件是．
（1）试根据上述定理，写出直线与圆相交于，，坐标原点为，且的充要条件，并求的值；
（2）若椭圆与直线相交两点、，而且，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
16．若直线与圆相交于，两点，并且，求实数的值．
17．（2021•朝阳区校级月考）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
18．（2013秋•普宁市校级月考）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围；
（3）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
19．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
20．（2021•平顶山一模）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，长为的线段的两端点在轨迹上滑动．当轴是的角平分线时，求直线的方程．
21．已知椭圆离心率，过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且点分有向线段所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2），为椭圆上两动点，满足，探求是否为定值，并说明理由．
22．（2014•江西一模）如图，，是离心率为的椭圆的左、右焦点，直线将线段分成两段，其长度之比为．设，是上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

23．（2021•沈阳一模）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于、两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于、两点，求证：为定值．
24．（2021春•凉山州期末）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点．
25．（2021•武汉月考）设为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足
（1）求点的轨迹方程；
（2）设，在轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
26．（2021•武昌区校级期末）设点为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，过点作直线，使得．
证明：直线过定点（记为点，并求出该点的坐标；
当，两点在直线同侧时，求四边形的面积的取值范围．
27．（2021•巨鹿县校级期中）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．
（1）求直线的斜率；
（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
28．（2021•定远县三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．

29．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形．
（1）求的方程
（2）若直线平行，且和有且只有一个公共点，证明直线恒过定点求的面积最小值．
30．（2021春•合肥期末）已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，，点是椭圆上位于第三象限的动点，直线、分别将轴、轴于点、，求证：为定值．
31．（2021•黄浦区校级月考）已知抛物线关于轴对称，且经过点
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点
32．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点．
（1）求的方程；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）当时，求的中点坐标．
33．（2021•香洲区校级月考）如图，已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，直线与直线的斜率之积为，证明：直线过定点并且求出该定点坐标．

34．（2021•广州一模）已知椭圆的一个焦点为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点的坐标：若不存在，说明理由．