单元检测四-三角函数、解三角形.docx

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分160分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
单元检测四　三角函数、解三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．(2015·湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为______________．
2．(2015·河南中原名校高三期中)已知sin 2α＝－，α∈(－，0)，则sin α＋cos α＝________.
3．(2015·广西贵港市模拟)已知sin(－x)＝，则cos(x＋)＝________.
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．
5．(2015·安庆市大观区模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，sin C＝2sin B，则tan A＝________.
6．(2015·无锡质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为__________．

7．(2015·泉州模拟)在△ABC中，若B＝60°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为________．
8．已知函数f(x)＝sin4(ωx＋)－cos4(ωx＋)(ω>0)在区间[－，]上的最小值为－，则ω的值为________．
9．(2015·龙泉中学模拟)关于函数f(x)＝sin(2x－)，有下列命题：
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋)；
②直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴；
③f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到；
④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
其中真命题的序号是________．
10．(2015·徐州质检)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋)＝，则x1x2＋y1y2的值为________．
11．(2015·苏州模拟)已知α为第二象限角，则cos α·＋sin α·＝________.
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
13．(2015·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

14．(2015·湖南师大附中月考)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．

第Ⅱ卷

二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(14分)(2015·惠州第三次考试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，－<φ<)，其部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M，N，P都在函数f(x)的图象上，求sin∠MNP的值．

16．(14分)(2015·北京)已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
17.(14分)(2015·醴陵一中模拟)在△ABC中，已知A＝，cos B＝.
(1)求cos C的值；
(2)若BC＝2，D为AB的中点，求CD的长．

18．(16分)已知函数f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ(|φ|<)，且函数y＝f(2x＋)的图象关于直线x＝对称．
(1)求φ的值；
(2)若<α<，且f(α)＝，求cos 4α的值；
(3)若0<θ<时，不等式f(θ)＋f(θ＋)<|m－4|恒成立，试求实数m的取值范围．
19.(16分)(2015·广雅中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π) x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M(0,1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，且f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．
20．(16分)(2015·河北正定中学月考)已知向量a＝(2sin(ωx＋)，2)，b＝(2cos ωx,0)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.
(1)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
答案解析
1.
解析　因为sin＝sin(π－)＝sin＝，
cos＝cos(π－)＝－cos＝－，
所以点(sin，cos)在第四象限．
又因为tan α＝＝－＝tan(2π－)＝tan，
所以角α的最小正值为.
2.
解析　∵α∈(－，0)，∴sin α＋cos α>0，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，
∴sin α＋cos α＝.
3.
解析　cos(x＋)＝cos[－(－x)]＝sin(－x)＝.
4．10
解析　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10.
在Rt△ABC中，得AB＝5，
于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．
5.
解析　由sin C＝2sin B，
变形得：＝2，
利用正弦定理化简得：＝＝2，
即c＝2b，由＝，
整理得：a2－b2＝bc，
∴cos A＝＝
＝＝，
∴A＝30°，则tan A＝.
6．π　
解析　由函数的图象可得A＝2，根据T＝·＝－＝，求得ω＝π.
再由函数图象可得π×＋φ＝kπ，
解得φ＝kπ－，又|φ|<，则φ＝.
7．2
解析　∵在△ABC中，B＝60°，AB＝2，AC＝2，
∴由正弦定理＝得：
sin C＝＝＝，
∴C＝30°，
∴A＝90°，
则S△ABC＝AB·AC·sin A＝2.
8.
解析　f(x)＝sin4(ωx＋)－cos4(ωx＋)
＝[sin2(ωx＋)－cos2(ωx＋)]·[sin2(ωx＋)＋cos2(ωx＋)]
＝sin2(ωx＋)－cos2(ωx＋)
＝－cos(2ωx＋)＝sin 2ωx，
所以2ωx∈[－ω，ω]，
所以满足－ω≥－且－ω＝－的ω＝.
9．②④
解析　f(x)＝sin(2x－)＝(sin 2x－cos 2x)．
①f(x)＝cos(2x＋)＝(cos 2x－sin 2x)．与原函数不是同一个函数，①错误．②x＝－时，f(x)＝sin[2×(－)－]＝sin(－)＝－1，函数取得最小值，所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，②正确．③将g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到图象对应的解析式是y＝sin＝sin(2x－)＝－cos 2x，与f(x)不是同一个函数，③错误．
④取α＝，f(x＋α)＝f(x＋)＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋)，f(x＋3α)＝f(x＋3·)＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋3π－)＝sin(2x＋2π＋π－)＝sin(2x＋)，所以存在α＝∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，④正确．
10．－
解析　因为x1x2＋y1y2＝·＝cos θ，
所以cos θ＝cos(θ＋－)
＝[cos(θ＋)＋sin(θ＋)]．
因为θ∈(，π)，θ＋∈(，)，
所以cos(θ＋)＝－，所以cos θ＝－.
11．0
解析　原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α，
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
12．－
解析　∵2sin B＝3sin C，
∴2b＝3c，∴b＝c.
代入b－c＝a得a＝2c，
由余弦定理，得cos A＝＝－.
13．8
解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
14.
解析　函数y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y＝sin(x＋＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小值为.
15．解　(1)由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×2＝8，
所以T＝＝8，ω＝.
又f(1)＝sin(＋φ)＝1，且－<φ<，
所以－<＋φ<，＋φ＝，
φ＝.
所以f(x)＝sin(x＋)．
(2)因为f(－1)＝sin[×(－1＋1)]＝0，
f(1)＝sin[×(1＋1)]＝1，
f(5)＝sin[×(5＋1)]＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)，
MN＝，MP＝，PN＝，
从而cos∠MNP＝＝－，
由∠MNP∈(0，π)，得sin∠MNP＝＝.
16．解　(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)＝sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为
f＝－1－.
17．解　(1)∵cos B＝且B∈(0，π)，
∴sin B＝＝，
cos C＝cos(π－A－B)
＝cos(－B)＝coscos B＋sinsin B
＝－×＋×＝－.
(2)由(1)可得
sin C＝＝＝，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得AB＝6.
在△BCD中，CD2＝(2)2＋32－2×3×2×＝5，
所以CD＝.
18．解　(1)f(x)＝sin(2x＋φ)，
则y＝f(2x＋)＝sin(4x＋＋φ)＝cos(4x＋φ)．
又y＝cos x的图象的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
令4x＋φ＝kπ(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ－(k∈Z)，而|φ|<，故φ＝－.
(2)由f(α)＝可得sin(2α－)＝，
而<2α－<，故cos(2α－)＝－，
故sin 2α＝sin[(2α－)＋]＝，
故cos 4α＝1－2sin22α＝.
(3)f(θ)＋f(θ＋)＝sin(2θ－)＋cos(2θ－)
＝sin(2θ＋)，
因为0<θ<，所以<2θ＋<，
故f(θ)＋f(θ＋)<×＝，
故只需|m－4|≥，即m≤4－或m≥4＋，
即实数m的取值范围是(－∞，4－]∪[4＋，＋∞)．
19．解　(1)因为函数f(x)的最大值是1，且A>0，
所以A＝1.
因为函数f(x)的最小正周期是2π，且ω>0，
所以T＝＝2π，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin(x＋φ)．
因为函数f(x)的图象过点M(0,1)，所以sin φ＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝sin(x＋)＝cos x.
(2)由(1)得f(x)＝cos x，
所以f(A)＝cos A＝，f(B)＝cos B＝.
因为A，B∈(0，π)，
所以sin A＝＝，
sin B＝＝.
因为A，B，C为△ABC的三个内角，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)，
所以f(C)＝cos C＝－cos(A＋B)
＝－(cos Acos B－sin Asin B)
＝－(×－×)＝.
20．解　(1)函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cos ωx
＝[4×(－)sin ωx＋4×cos ωx]cos ωx
＝2cos2ωx－sin 2ωx
＝(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx
＝2cos(2ωx＋)＋，
由题意得T＝π，∴＝π，
∴ω＝1，故f(x)＝2cos(2x＋)＋.
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，
∴y＝2cos(2x＋)＋的单调递增区间为
[kπ－，kπ－](k∈Z)．
当k＝1时，函数的单调递增区间为[，]．
当k＝2时，函数的单调递增区间为[，]．
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[，]，[，]．
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)＝2cos 2x＋的图象．
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数g(x)在每个周期内恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，∴b的最小值为4π＋＝.
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