2023届高考数学特训营-第2节-同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

A级(基础应用练)
1．(2022•辽宁五校联考)sin 1470°＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案：B
解析：sin 1470°＝sin(1440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin 30°＝.
2．(2022•重庆市模拟)已知sin α＝，sin 2α<0，则cos α的值为(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案：D
解析：由sin 2α＝2sin αcos α<0及sin α＝可知cos α<0，所以cos α＝－＝－＝－.
3．(2022•黑龙江省模拟)已知cos θ－sin θ＝，则θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：cos θ－sin θ＝⇒1－2sin θcos θ＝，
即2sin θcos θ＝－，所以sin θ与cos θ异号，又cos θ＝sin θ＋>0，所以sin θ<0，
所以θ的终边在第四象限．
4.(2022•重庆市模拟)黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cos 144°＝(　　)

A. B．－
C. D.
答案：B
解析：依题意在正五边形中，每一个内角为108°，
所以∠ACD＝∠DCB＝∠CBD＝36°，
所以∠CAD＝∠CDA＝∠ACB＝72°，所以BC＝AB，CD＝BD＝AC.
因为D为线段AB的黄金分割点(BD>AD)，所以＝，即＝，
所以＝，所以＝，故不妨设CD＝2，AD＝－1，
则在△CDA中，cos 36°＝＝，
从而cos 144°＝cos(180°－36°)＝－cos 36°＝－.
故选B.
5．(2022•惠州模拟)已知tan α＝，且α∈(π，)，则cos(α－)＝(　　)
A．－ B．
C. D．－
答案：A
解析：法一：cos(α－)＝sin α，由α∈(π，)知α为第三象限角，由tan α＝可设点P(－2，－1)为α终边上一点，则|OP|＝＝(O为坐标原点)，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－，选A.
法二：cos(α－)＝sin α，由α∈(π，)知α为第三象限角，联立得，得5sin2α＝1，故sin α＝－，选A.
6．(2022•黑龙江省哈尔滨市模拟)当θ∈(0，π)时，cos(－θ)＝－，则sin(θ＋)的值为(　　)
A．－ B．
C．± D.
答案：D
解析：由θ∈(0，π)，得－θ∈(－，)，
由cos(－θ)＝－<0，得－θ∈(，)，
则sin(－θ)＝，
所以sin(θ＋)＝sin[π－(－θ)]＝sin(－θ)＝.
7．(2022•内蒙古模拟)已知sin α＝2 sin(α＋)，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：A
解析：因为sin α＝2 sin(α＋)＝－2 cos α，所以tan α＝－2，
所以cos 2α＝＝＝＝－.
8．(2022•山东省模拟)若tan(π－α)＝4，则cos(2α＋π)＝________．
答案：－
解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝4，所以tan α＝－4，
则cos(2α＋π)＝sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝－.
9．(2022•辽宁省葫芦岛市模拟)若tan α＝k，α为钝角，则sin α的值为________(用k表示)．
答案：－(－亦可)
解析：因为tan α＝k，α为钝角，所以sin α＝kcos α，k<0，
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以(k2＋1)cos2α＝1，即cos α＝－，
所以sin α＝kcos α＝－.
10．(2022•福建省模拟)已知θ∈(0，)，且＝－，则tan 2θ＝________．
答案：±
解析：＝＝－(cos θ＋sin θ)＝－，
故cos θ＋sin θ＝，
又因为θ∈(0，)，且cos2θ＋sin2θ＝1，
所以cos θ＝，sin θ＝或cos θ＝，sin θ＝，
则tan θ＝或，故tan 2θ＝＝±.
B级(综合创新练)
11．(多选题)(2022•河北衡水模拟)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　)
A．tan(A＋B)＝tan C
B．cos(2A＋2B)＝cos 2C
C．sin()＝sin
D．sin()＝cos
答案：BD
解析：tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，A不正确；cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝cos(－2C)＝cos 2C，B正确；sin()＝sin()＝cos ，C不正确，D正确．
12．(多选题)(2022•湖北联考)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
答案：AC
解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，cos α＝±，∴若α＋β＝，则β＝－α.sin β＝sin(－α)＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；若B符合，则cos(π＋β)＝－cos(－α)＝－sin α＝－，与cos(π＋β)＝矛盾，故B不符合条件；对于C，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C符合条件；tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．
13．(2022•浙江省杭州市模拟)已知x∈[，π]，则sin(2x－)＝，则cos 2x＝________，tan x＝________．
答案：－　－
解析：因为sin(2x－)＝－cos 2x＝，
所以cos 2x＝－.
又cos 2x＝cos2x－sin2x＝＝＝－，
解得tan2x＝2，因为x∈[，π]，
所以tan x＝－.
14．(2022•山东省济南市模拟)已知sin αcos α＝，且α∈(0，)，则的值为______．
答案：－
解析：由题意，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
又α∈(0，)，所以sin α＋cos α>0，则sin α＋cos α＝，所以＝＝＝－.
15．(2022•山东省青岛市三模)若4sin2θ－sin(θ＋)＝2，则sin 2θ＝________．
答案：－1或
解析：因为4sin2θ－sin(θ＋)＝2，所以4sin2θ－sin(θ＋)＝2sin2θ＋2cos2θ，
即2sin2θ－2cos2θ＝sin(θ＋)，即2(sin θ＋cos θ)•(sin θ－cos θ)＝sin θ＋cos θ，
所以sin θ＋cos θ＝0或sin θ－cos θ＝.
当sin θ＋cos θ＝0时，sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2－1＝－1；
当sin θ－cos θ＝时，sin 2θ＝1－(sin θ－cos θ)2＝.综上所述，sin 2θ＝－1或.