2018年PCB鹏程杯数学邀请赛6年级试卷.doc

第五届鹏程杯数学邀请赛
小学高年级组试题卷
（2018 年 3 月 24 日 10:00～11:40）

一、填空题（满分 60 分，每小题 6 分）

1. 已知ab + cd + ef + gh = 128, 其中不同的英文字母表示不同的非零数字. 则

(a + c + e + g) ´ (b + d + f + h) 的值是 .

2. 已知 x 台拖拉机每天工作 x 个小时， x 天耕地 x 亩，那么 y 台拖拉机每天工作 y 小时，y 天耕地 亩.
3. 时钟在6 : 25这个时刻，分针与时针的夹角是 度.
4. 不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 .

5. 如图所示，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，分别以 BC, CD 为直径在正方形内画两个半圆，这两个半圆

的交点为O . 则图中阴影部分的面积是 平方厘米.

6. 老师派若干名学生去购买单价为 3 元或 5 元的贺年卡，规定每人至少买一张，且每人购买两种贺年卡的总金额不超过 15 元. 如果要求至少有三名学生购买的两种贺年卡的数量完全相同，那么最少要派 名学生去购买贺年卡.
7. 王明参加了 10 场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了 场比赛.

8. 如图所示，有 18 块大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可拼成较大的正三角形若干个.那
么，图中包含“⊙”的大、小正三角形一共有 个.
9. 有浓度为 30%的食盐溶液若干，加了一定数量的水后稀释成浓度为 24%的溶液.如果再加入同样多的水，浓度将变为 .
10. 在长为 1,2,3,4，…，199,200 的这 200 条线段中，选取k (³ 3) 条，使得这k 条

第五届（2018）鹏程杯数学邀请赛小学高年级组试卷共 3 页 第 3页

线段中任意 3 条为边都可以构成三角形，则k 的最大值是 .
二、解答题（满分 60 分,其中第 11-13 题各 10 分，第 14、15 题各 15 分）
11. 求下列式子中的“Δ”.

{23.25 ´ [1 9 (D - 1) - D] + 1 D} ¸ 1 1 = 1
31 4 3
12. 用橡皮泥做一个棱长为 4cm 的正方体.

（1） 如图（A），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm 的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面
积； （A） （B）
（2） 如果在第（1）问所述橡皮泥打孔后，如图（B）,又在正面中心位置处从前到后再打一个边长为 1cm 的正方形通孔，求两次打孔后的橡皮泥块的表面积；
（3） 如果在第（1）问所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个长为 x cm，宽为 1cm 的长方形通孔，能不能使所得到的橡皮泥块的表面
积为 130 cm2 ？如果能，请求出 x ；如果不能，请说明理由.
13. 甲、乙、丙、丁四个人骑着摩托车到外面探险，每辆摩托车带的油最多能行

360 千米，途中无加油站.为了使其中有人走得更远些，他们想出一个巧妙的方法，且都能安全地返回出发点.那么，他们想出了什么办法使其中有人能行得更远些？最远能行多少千米？
14. 对于正整数n ，如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位
数记作S (n) .例如 2018，因为2+0+1+8 = 11，1+1 = 2 ，所以S(2018) = 2 .
大家注意，35×29=1015 （＊） 根据以上算法，S(35)=8， S (29) = 2 ，
S(S(35)×S(29))=S(8×2)=S(16)=7，有趣的是 S(1015)也等于 7. 这是偶然的巧
合还是必然的规律？
（1） 根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（＊）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广.
（2） 请证明你的猜想.
（3） 请举出以上结论的一个应用.

15. 鹏程幼儿园小张阿姨在“六一”儿童节时给小朋友们发糖果，她将一包糖果放在桌子上便回办公室拿东西，回来后发现有些性急的小朋友已各自抓了一把糖果.为了公平起见，她决定通过游戏方式达到平均分配糖果的目的.老师将小朋友们围成一圈，先让所有人数一数自己手中的糖果，凡是奇数块的，老师再发一块.然后，每个小朋友将自己糖果的一半分给右边的小朋友，同时，他也收到左边小朋友给的糖果，这样就叫做完成了一次“调整”.

请你证明：如果张老师手上有足够多的糖果，那么只需要经过有限次“调整”，大家手中的糖果就一样多了！