现代信号处理(胡广书)第五章 信号的抽取与插值,上采样,下采样 理论.doc

第5章 信号的抽取与插值

5.1前言

至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：
1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；
2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。
3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；
4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；
5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。
以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。
减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。
滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。
我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。

5.2信号的抽取

设，欲使减少M倍，最简单的方法是将中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即
n=-¥~+¥ (5.2.1)
现在我们证明，和的DTFT有如下关系：
（5.2.2）
证明： 由（5.2.1）式，的变换为
（5.2.3）
为了导出和之间的关系，我们定义一个中间序列：
(5.2.4)
注意，的抽样率仍示，而的抽样率是。、及如图5.2.1（a），（b）和（c）所示，抽取的框图如图（d）所示。图中符号 表示作M倍抽取。
由该图，显然 ，这样，有

即 (5.2.5)
现在的任务是要找到和之间的关系。
令为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零，其抽样频率也为。由1.8节的Possion和公式及DFS的理论，又可表示为：
, (5.2.6)
因为，所以：

即：
(5.2.7)
将该式代入（5.2.5）式，有
(5.2.8)
令代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。
（5.2.8）式又常写成如下形式
(5.2.9)

↓M

图5.2.1信号抽取示意图，M=3, 横坐标为抽样点数
原信号，，抽取后的信号，（d）抽取的框图
（5.2.2）式的含意是，将信号作M倍的抽取后，所得信号的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在轴上作（）的移位后再迭加。如图5.2.2的（a），（b），（c）,（d）及（e）所示。

图5.2.2 信号抽取后频谱的变化, 图中
由抽样定理，在由抽样变成时，若保证，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。对作M倍抽取得到，若保证由重建出，那么，的一个周期（）也应等于的频谱。这就要求抽样频率必须满足。图5.2.2正是这种情况。图中的频谱限制在内，而又正好作M＝3的抽取，因此中没有发生频谱的混迭，如图（e）所示。
但是，如果的条件不能得到满足，那么中将发生混迭，因此也就无法重建出。如图5.2.3（a）所示，的频谱在的范围内仍有值，因此，即使作M＝2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示。
由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证。为此，防止抽取后在中出现混迭的方法是在对抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示。
令为一理想低通滤波器，即
(5.2.10)
如图（d）所示，令滤波后的输出为，则

令对抽取后的序列为，则

（5.2.11）
由前面的推导不难得出：
(5.2.12a)
及
(5.2.12b)
的频谱如图（e）所示，如图（f）所示。由该图可以看出，加上频带为（）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。
在图5.2.3（f）中使用了变量“”，现对此稍作解释。
在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“” 也就具有不同的含义。例如，在图5.2.1（d）中，若令相对的圆周频率为，相对对的圆周频率为，则和有如下关系：
(5.2.13)
若要求，则必须有，这正是（5.2.10）式对频带所提要求的原因。同时使用和两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。

图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2
（a），（b）没滤波就抽取得到的，（c） 信号抽取框图，（d），（e），（d）滤波后再抽取得到的

5.3信号的插值

如果希望将的抽样频率增加L倍，即变成，那么，最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零。设补零后的信号为，则
(5.3.1)
如图5.3.1（a）和（b）所示。

图5.3.1信号的插值
（a）原信号，（b）插入个零后的，。

现在来分析、各自DTFT之间的关系。由于

即
(5.3.2)
同理
(5.3.3)
式中，和都是周期的，的周期是，但的周期是。这样，的周期也是。（5.3.2）式的含意是：在的范围内，的带宽被压缩了倍，因此，在内包含了个的压缩样本，如图5.3.2所示。

图5.3.2 插值后对频域的影响，
（a）插值前的频谱，（b）插值后的频谱

由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期（）内，出现了个周期，多余的-1个周期称为的映像，我们应当设法去除这些映像。
实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。自然，我们需要用中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用和一低通滤波器作卷积。为此，令
(5.3.4)
式中为常数，是一定标因子。令通过后的输出为，如图5.3.3所示。

图5.3.3插值后的滤波

这样，滤波器的作用即是去除了中多余的映像，另一方面，也实现了对中零值点的插值。
因为

及
所以

这样，若取，则可保证。
现在，我们来分析一下图5.3.3中的时域关系。由（5.3.1）式，有

即 (5.3.5)

5.4抽取与插值相结合的抽样率转换

对给定的信号，若希望将抽样率转变为倍，可以按以上两节讨论的方法，先将作倍的抽取，再作倍的插值来实现，或是先作倍的插值，再作倍的抽取。一般来说，抽取使的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图5.4.1（a）所示。
图中插值和抽取工作在级联状态。图（a）中滤波器，所处理的信号的抽样率都是，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图5.4.1（b）所示。
令
(5.4.1)
则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。
现在分析一下图5.4.1（b）中各部分信号的关系。由上两节的讨论可知，有
(5.4.2)
及
(5.4.3)
因为 (5.4.4)

图5.4.1插值合抽取的级联实现
（a）使用两个低通滤波器，（b）使用一个低通滤波器

所以
(5.4.5)
及
(5.4.6)
对比（5.2.11）及（5.3.5）式，可以看出（5.4.6）式中的正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合。
因为是因果的滤波器，所以，即，这是（5.4.6）式中的取值制约关系。记
(5.4.7)
式中表示求小于或等于的最大整数，这样，（5.4.5）式可写成
(5.4.8)
由于

我们可最后得到和之间关系的表达式：
(5.4.9)
式中表示对模求余。
现在我们通过一个实例来分析一下上述抽样率转换的过程。令，，和都是一个四点的序列，如图5.4.2所示。

图5.4.2 抽样率转换过程

实现图5.4.1（b）的倍抽样率转换，一个办法是从依次求出，及。如要求出，按（5.4.4）式，有

显然，式中包含很多乘以零的运算，这实际上是不需要的。若按（5.4.5）式，则

从而避免了乘以零的不必要的计算。但是，把，，，……都求出来也是没有必要的，因为我们对要作倍的抽取，这样，，……等要被舍弃，因此，没有必要计算。改由（5.4.9）式，即一步由得到，有

时，
时，

时

这样，按（5.4.9）式计算时既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算，又避免了被舍弃点的多余计算。可见，在多抽样率转换中，不同计算方法的选取会需要不同的计算量。解决这一问题的有效方法是采用信号的“多相（polyphase）结构”。（5.4.9）式即是多相结构的一种表示形式，更多的内容我们将在下一节讨论。
最后，我们给出和的频域关系。由上两节的讨论，有

(5.4.10)

(5.4.11)
在实际工作中，无论抽取还是插值，所用的滤波器一般都选取截止性能好而且是线性相位的FIR滤波器。
文献[50]给出了信号抽取与插值的概论性的论述。

5.5信号的多相表示

信号的多相表示在多抽样率信号处理中有着重要的作用。使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算的速度。
给定序列，令，假定，有

即 (5.5.1)记 (5.5.2)则 (5.5.3)若再记 (5.5.4)
为的多相分量，则
(5.5.5)上面的求和是从，这是考虑是因果序列。对任一序列，上面各式的求和均可扩展至。
上面的多相表示对FIR和IIR系统均适用。例如，若
，取，
令 ，
则
再例如，令
，由关系：
有
令 ，
则
（5.5.1）~（5.5.5）式称为类型-I多相表示。如果我们用代替类型I中的，则有 (5.5.6)
式中 (5.5.7)
这两个表达式称为类型-II多相表示。
若用代替（5.5.1）~（5.5.5）中的，则有
(5.5.8)
(5.5.9)
这两个表达式称为类型-III多相表示。显然，。
、和是信号重新组合的三种不同形式，在本书中，最常用的是和。现在，我们来观察它们对原序列重新组合的不同方式。令
，，
则
，，，
，，，
，，，
，，，
请读者自己寻找出各多相分量之间的关系。

5.6几个重要的恒等关系

由上述几节的抽样率转换关系，我们可得到在多抽样率系统中几个重要的恒等关系：
1.

↓M
↓M
↓M

图中“”表示等效。该图说明，两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加。
2.
↓M
↓M

即信号延迟个样本后作倍抽取和先抽取再延迟一个样本是等效的。
证明：设 ，则
而
所以

令 ，则 ，
又
所以
即二者是等效的。
3.
H(zM)
↓M
↓M
H(zM)

即在倍抽取器的前后，滤波器的的幂相差倍。
证明：设的输出为，则
，
所以

这即是右图所对应的关系，故二者等效。
↑L
↑L
↑L
4.
5..
↑L
↑L
6.
↑L
G(z)
↑L
G(zL)

请读者自行证明恒等关系4、5和6。这六个关系，又称为“Noble Identities”[15]。为保证这六个关系成立，和都应是（或）的有理多项式，而且的幂均应是整数。

5.7抽取和插值的滤波器实现

5.7.1抽取的滤波器实现[12,15]

对图5.7.1（a）的抽取，按照顺序，首先要做的是对作滤波，即和的卷积，然后对卷积后的结果作抽取，如图5.7.1（b）所示。但这种实现方式是费时的，这是因为求出的中只有，，，……，等是需要的，而其余的点在抽取后都被舍弃了，即做了大量不必要的运算。
合理的方法应按图5.7.1（c）来进行，这时，卷积在低抽样率进行，即

式中假定为点FIR滤波器。
现在分析一下在图5.7.1（c）中被分组的情况；假定，输入到：
的是：，，，，……，
的是：，，，，……，
的是：，，，，……，
的是：，，，，……，
的是：，，，，……，

h(n)
↓M

↓M
↓M
↓M
↓M

图5.7.1抽取的滤波器实现
（a）一般框图，（b）先卷积后抽取，（c）先抽取后卷积

假定，分析上面结果后可以看出，与子序列相卷积的滤波器系数是，和，和相卷积的系数是，，，与相卷积的系数是，，。这样，我们可将FIR的系数分成组, 如图5.7.2所示。
↓3
↓3
↓3

图5.7.2 将滤波器系数分组来实现信号的抽取
上面的分析及图5.7.2提示我们可以用多相结构来实现信号的抽取，即假定则

而
对本例：

所以，图5.7.2可变成如图5.7.3所示的多相形式。读者不难发现，在本图中使用了恒等关系3。

↓3
↓3
↓3
E0(z)
E1(z)
E2(z)

图5.7.3 抽取的多相结构实现

5.7.2 插值的滤波器实现

若直接按顺序实现图5.7.4（a）中的插值，由于中每两点增加了个零，这些零和做乘法是毫无意义的，因此，我们不应把卷积放在高抽样率（）端进行，而应想办法将其移到低抽样率端来实现。由多相表示的第二种形式，即（假定）

式中
图5.7.4（a）的多相直接实现如图5.7.4（b）所示。这种卷积仍处在高抽样率端，利用恒等关系6，可得图（c），这时卷积在低抽样率端进行，从而避免了乘以零的无意义运算。

↑L
h(n)

R0(z3)
R1(z3)
R2(z3)
↑3
R0(z)
↑3
R0(z)
↑3
R0(z)
↑3

图5.7.4 插值得多相实现
（a）一般框图，（b）直接多相实现，（c）高效多相实现
5.7.3 抽取和插值相结合得滤波器实现

我们在前两节分别讨论了抽取和插值得多相实现，对图5.7.5（a）的抽取和插值相结合的抽样率转换，若用多相形式直接实现，则如图（b）所示，利用恒等关系1和3，则可得到图（c），显然，图（c）比图（b）的效率高。图中假定，。

↑L
↓M
h(n)

↑2
↓3
E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)

E0(z)
E1(z)
E2(z)
↑2
↓3
↓3
↓3

图5.7.5 抽取与插值的类型-I多相实现
（a）一般框图，（b）直接多相实现，（c）高效实现

显然，我们也可对按类型-II多相结构来安排，因为，所以图5.7.5（a）可表示成图5.7.6（a）的形式。但图5.7.5（c）和图5.7.6（a）都是单独地对抽取和插值作多相表示，现希望把二者结合起来。对图5.7.6（a）来说，困难的是不能把简单地移到右边，也不能简单地移到左边。如果我们把图中的写成的形式，如图（b）所示，利用前述的恒等关系则可得到图5.7.6（c），再将抽取与插值交换位置，则得到图（d）。
在图5.7.6（d）中，抽取环节仍在，的后面，这必然存在多余的运算。由图5.7.3，启发我们应将，再作多相分解，而

这样，我们可得到抽取与插值相结合时的最有效的结构，如图5.7.7所示。读者可证明，该结构和图5.7.5（c）、5.7.6（a）等是等效的。

R0(z)
↑2
R0(z)
↑2
↓3

R0(z)
↑2
R0(z)
↑2
↓3

R0(z)
↑2
↓3
R1(z)
↑2
↓3

R0(z)
↓3
↑2
R1(z)
↓3
↑2

图5.7.6 抽取与插值的类型-II多相实现，（a）插值的类型-II实现，
（b）将写成，（c）恒等变换，（d）抽取与插值交换位置

↓3
R00(z)
↓3
R01(z)
↓3
R02(z)
↓3
R10(z)
↓3
R11(z)
↓3
R12(z)
↑2
↑2

图5.7.7 抽取与插值相结合的滤波器的结构

5.8 抽取与插值的编程实现
多相滤波器
及
中的和都是变量和的函数，我们可按（5.4.9）式将它们写成的形式。定义
(5.8.1)
则为一时变滤波器，它也是一种多相表示形式。因为

所以是以变量为周期的，周期为。
假定的长度为，令，则中的，，例如，若，，，则，多相滤波器的系数分别是：

由（5.4.8）、（5.4.9）及（5.8.1）式，我们可重写抽取和插值相结合的多抽样率转换系统的输入输出关系，即

(5.8.2)
该式有利于在计算机上编程以实现信号的抽取与插值。其工作过程是：
步骤1. 对给定的，，设计一低通滤波器，使其逼近理想的低通滤波器

建议使用FIR滤波器，的长度为，。
步骤2. 将长度为的分成个子滤波器，每段长，即

步骤3. 将按来转换，变化时，只有当为整数时才变化。
上述三个步骤可用图5.8.1来表示。图中输入缓冲器长度为，中间缓冲器数据长为，滤波器系数缓冲器共有个，每个长度也为，输出缓冲器长度为。

图5.8.1 实现抽样转换的计算机程序方块图

对每一个输出数据块，在每一个时刻，一个子滤波器的个系数和中间缓冲器的个数据对应相乘，然后相加，得到该时刻的，然后用下一个滤波器的系数和中间缓冲器数据相乘，得下一点输出。当为整数时，从输入缓冲器移一个数据到中间缓冲器，当个输出结束时，应移进个数据。如此
重复，直到对的全部数据处理结束。文献[50]所给出的抽样率转换程序即是按上述思路编写的。MATLAB中的interp，interp1，decimate，resample及文献[19]所附的子程序DECINT均可用来实现信号的抽取、插值或二者的结合。

例5.8.1 给定，，即每一个周期内有16个点，试用本节所讨论的内容实现：
（1）作倍的插值，使每个周期变成48点；
（2）作倍的抽取，使每个周期变成4点；
（3）作倍的抽样率转换，即使每个周期变为12个点。
解: 实现上述抽样率转换的关键是设计出高性能的低通滤波器。所谓高性能是指通带尽量平，阻带衰减尽量大，过渡带尽量地窄，且应是线性相位的，为此，我们用切比雪夫一致逼近法设计所需要的滤波器[19]。
对问题（1），由（5.3.4）式，所设计的滤波器的技术指标是
(5.8.3)
利用切比雪夫一致逼近法，令阶次，所得幅频相应如图5.8.2（a）所示，其单位抽样相应如图（b）所示。再利用插值程序，可实现对的插值。图中共取了3个周期，即48个点。图（f）是经过倍插值后的，也是48个点，但只包含1个周期。
对问题（2），所需滤波器得技术指标应是（见（5.2.10）式）
(5.8.4)
同样取，设计出的滤波器的幅频特性如图（c）所示，抽样相应如图（d）所示。经4倍抽取后所得的如图（g）所示，在48个点内含有12个周期。
对问题（3），所设计的滤波器的技术指标应是（见（5.4.1）式）：
(5.8.5)
除了幅值不同外，其它指标如同（5.8.4）式。其幅频响应和抽样响应不再给出。图（h）是经倍抽样率转换后所得到的，在48个点内共有4个周期。

图5.8.2 例5.8.1的抽样率转换滤波器及转换前后的数据
（a）倍的插值用滤波器的幅频响应；（b）倍的插值用滤波器的；
（c）倍的插值用滤波器的幅频响应；（d）倍的插值用滤波器的；
（e）原信号，48点，3个周期；（f）经倍插值后的，48点，一个周期；
（g）经倍抽取后的，48点，12个周期；（h）经倍抽样率转换后的，48点，4个周期。
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