简称冲激响应.pptx
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1、线性连续系统的描述及其响应线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应卷积积分卷积积分 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 2.1 线性连续系统的描述及其响应线性连续系统的描述及其响应 2.1.1 2.1.1 系统的描述系统的描述 描描述述线线性性非非时时变变连连续续系系统统的的数数学学模模型型是是线线性性常常系系数数微微分分方方程程。对对于于电电系系统统,列列写写数数学学模模型的基本依据有如下两方面。型的基本依据有如下两方面。1.1.元件约束元件约束VARVAR 在电流、电压取关联参考方向条件下:在电流、电压取关联参考方向条件下:(1)(1)电阻电阻R R
2、,uR(t)=RuR(t)=RiR(t)iR(t);(2)(2)电感电感L L,(3)(3)电容电容C C,(4)(4)互感互感(同、异名端连接同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。压、电流关系等。2.2.结构约束结构约束KCLKCL与与KVLKVL 下面举例说明。下面举例说明。例例2 21 1 图图2.12.1所所示示电电路路,输输入入激激励励是是电电流流源源iS(t),iS(t),试试列列出出电电流流iL(t)iL(t)及及R1R1上上电电压压u1(t)u1(t)为为输输出出响响应应变变量量的方程式。的方程式。解解 由由KVLKVL,列出电压方程,
3、列出电压方程对上式求导,考虑到对上式求导,考虑到 根据根据KCLKCL,有,有iC(t)=iS(t)-iL(t)iC(t)=iS(t)-iL(t),因而,因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)iL(t)整理上式后,可得整理上式后,可得 从上面例子可得到两点结论:从上面例子可得到两点结论:(1)(1)解解得得的的数数学学模模型型,即即求求得得的的微微分分方方程程的的阶阶数数与与动动态态电电路路的的阶阶数数(即即独独立立动动态态元元件件的的个个数数)是是一一致致的的。(2)(2)输输出出响响应应无无论论是是iL(t)iL(t)、
4、u1(t)u1(t),或或是是uC(t)uC(t)、i1(t)i1(t),还是其它别的变量,它们的齐次方程都相同。还是其它别的变量,它们的齐次方程都相同。这表明,同一系统当它的元件参数确定不变时,这表明,同一系统当它的元件参数确定不变时,它的自由频率是唯一的。它的自由频率是唯一的。2.1.2 2.1.2 微分方程的经典解微分方程的经典解 我我们们将将上上面面两两个个例例子子推推广广到到一一般般,如如果果单单输输入入、单单输输出出线线性性非非时时变变的的激激励励为为f(t)f(t),其其全全响响应应为为y(t)y(t),则则描描述述线线性性非非时时变变系系统统的的激激励励f(t)f(t)与与响响
5、应应y(t)y(t)之之间间关关系系的的是是n n阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程,它它可可写为写为 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1 f(m-1)(t)+f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)式中式中an-1an-1,a1a1,a0a0和和bmbm,bm-1bm-1,b1b1,b0b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特均为常数。该方程的全解由齐次解和
6、特解组成。齐次方程的解即为齐次解,用解组成。齐次方程的解即为齐次解,用yh(t)yh(t)表示。非齐次方程的表示。非齐次方程的特解用特解用yp(t)yp(t)表示。即有表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t)y(t)=yh(t)+yp(t)1.1.齐次解齐次解 齐次解满足齐次微分方程齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由由高高等等数数学学经经典典理理论论知知,该该齐齐次次微微分分方方程程的的特特征征方程为方程为 n+a n-1n-1
7、+n+a n-1n-1+a1+a0=0+a1+a0=0 (1)(1)特特征征根根均均为为单单根根。如如果果几几个个特特征征根根都都互互不不相相同同(即无重根即无重根),则微分方程的齐次解,则微分方程的齐次解 (2)(2)特特征征根根有有重重根根。若若11是是特特征征方方程程的的重重根根,即即 有有 1=2=3=1=2=3=,而而 其其 余余(n-)(n-)个个 根根+1+1,+2+2,nn都都是是单单根根,则则微微分分方方程程的的齐次解齐次解 (3)(3)特特征征根根有有一一对对单单复复根根。即即1,1,2=ajb2=ajb,则则微分方程的齐次解微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcosb
8、t+c2eatsinbt yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4)(4)特特 征征 根根 有有 一一 对对 mm重重 复复 根根。即即 共共 有有 mm重重1,2=ajb1,2=ajb的复根,则微分方程的齐次解的复根,则微分方程的齐次解2.2.特解特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出了几种类型的激励函数下表列出了几种类型的激励函数f(t)f(t)及其所对应及其所对应的特征解的特征解yp(t)yp(t)。选定特解后,将它代入到原微。选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其待定系数分方程,求出其待定系数Pi Pi,就可得出特解
9、。,就可得出特解。激励函数及所对应的解激励函数及所对应的解 3.3.完全解完全解 根根据据上上节节所所讲讲,完完全全解解是是齐齐次次解解与与特特解解之之和和,如如果果微微分分方方程程的的特特征征根根全全为为单单根根,则则微微分分方程的全解为方程的全解为 当当特特征征根根中中11为为重重根根,而而其其余余(n-)(n-)个个根均为单根时,方程的全解为根均为单根时,方程的全解为 如如果果微微分分方方程程的的特特征征根根都都是是单单根根,则则方方程程的的完完全全解解为为上上式式,将将给给定定的的初初始始条条件件分分别别代代入入到到式式上及其各阶导数,可得方程组上及其各阶导数,可得方程组 y(0)=c
10、1+c2+cn+yp(0)y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0)y(n-1)(0)=n-1 1c1+n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0)2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 线线性性非非时时变变系系统统的的完完全全响响应应也也可可分分解解为为零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响应应。零零输输入入响响应应是是激激励励为为零零时时仅仅由由系系统统的的初初始始状状态态x(0)x(0)所所引引起起的的响响应应,用用yx(t)yx(t)表表示示;零零状状态态响响应应是是系系统统的的初初始始状状态态为为零零(即即系系统统的的初初始始储储能能为为零零
11、)时时,仅仅由由输输入入信信号号所所引引起起的的响响应应,用用yf(t)yf(t)表表示示。这这样样,线线性性非非时时变变系系统统的的全全响响应应将将是是零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响应应之和,即之和,即 y(t)=yx(t)+yf(t)y(t)=yx(t)+yf(t)在在零零输输入入条条件件下下,式式(2(27)7)等等式式右右端端均均为为零零,化化为为齐齐次次方方程程。若若其其特特征征根根全全为为单单根根,则则其零输入响应其零输入响应 式中式中cxicxi为待定常数。为待定常数。若若系系统统的的初初始始储储能能为为零零,亦亦即即初初始始状状态态为为零零,这这时时式式(2(27)7
12、)仍仍为为非非齐齐次次方方程程。若若其其特特征征根均为单根,则其零状态响应根均为单根,则其零状态响应 式中式中cfi为待定常数。为待定常数。系系统统的的完完全全响响应应即即可可分分解解为为自自由由响响应应和和强强迫迫响响应应,也可分解为零输入响应和零状态响应,它们的关系为也可分解为零输入响应和零状态响应,它们的关系为:式中式中 在在电电路路分分析析中中,为为确确定定初初始始条条件件,常常常常利利用用系系统统内内部部储储能能的的连连续续性性,即即电电容容上上电电荷荷的的连连续续性性和和电电感感中中磁磁链链的的连连续续性性。这这就就是是动动态态电电路路中中的的换换路路定定理理。若若换换路发生在路发
13、生在t=t0t=t0时刻,有时刻,有2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.2.1 2.2.1 冲激响应冲激响应 一一线线性性非非时时变变系系统统,当当其其初初始始状状态态为为零零时时,输输入入为为单单位位冲冲激激信信号号(t)(t)所所引引起起的的响响应应称称为为单单位位冲冲激激响响应应,简简称称冲冲激激响响应应,用用h(t)h(t)表表示示。亦亦即即,冲冲激激响响应应是是激激励励为为单单位位冲冲激激信号信号(t)(t)时,系统的零状态响应。其示意图如下图所示。时,系统的零状态响应。其示意图如下图所示。冲激响应示意图冲激响应示意图 1.1.冲激平衡法冲激平衡法 冲冲激激平平衡衡法法
14、是是指指为为保保持持系系统统对对应应的的动动态态方方程程式式的的恒恒等等,方方程程式式两两边边所所具具有有的的冲冲激激信信号号函函数数及及其其各各阶阶导导数数必必须须相相等等。根根据据此此规规则则即即可可求求得得系系统统的的冲冲激激响响应应h(t)h(t)。例:例:已知某线性非时变系统的动态方程式为已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)h(t)。解解 根根据据系系统统冲冲激激响响应应h(t)h(t)的的定定义义,当当f(t)=(t)f(t)=(t)时时,即为即为h(t)h(t),即原动态方程式为,即原动态方程式为 由由于于动动态态方方程程式式右右侧侧存存
15、在在冲冲激激信信号号(t)(t),为为了了保保持持动动态态方方程程式式的的左左右右平平衡衡,等等式式左左侧侧也也必必须须含含有有(t)(t)。这这样样冲冲激激响响应应h(t)h(t)必必为为A Aetu(t)u(t)的的形形式式。考考虑虑到到该该动动态方程的特征方程为态方程的特征方程为 特特征征根根1=-31=-3,因因此此可可设设h(t)=Ah(t)=Ae-3tu(t)u(t),式式中中A A为为待定系数,将待定系数,将h(t)h(t)代入原方程式有代入原方程式有即即 解得解得A=2A=2,因此,系统的冲激响应为,因此,系统的冲激响应为 求导后,对含有求导后,对含有(t)(t)的项利用冲激信
16、号的项利用冲激信号(t)(t)的取的取样特性进行化简,即样特性进行化简,即2.2.等效初始条件法等效初始条件法 系系统统冲冲激激响响应应h(t)h(t)的的求求解解还还有有另另一一种种方方法法,称称为为等等效效初初始始条条件件法法。冲冲激激响响应应h(t)h(t)是是系系统统在在零零状状态态条条件件下下,受受单单位位冲冲激激信信号号(t)(t)激激励励所所产产生生的的响响应应,它它属属于于零状态响应。零状态响应。例:例:已知某线性非时变已知某线性非时变(LTI)(LTI)系统的动态方程式为系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0y(t)+3y(t)=2f(t)t0 试求系统的冲
17、激响应试求系统的冲激响应h(t)h(t)。解解 冲激响应冲激响应h(t)h(t)满足动态方程式满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0 h(t)+3h(t)=2(t)t0 由由于于动动态态方方程程式式右右边边最最高高次次为为(t)(t),故故方方程程左左边边的最高次的最高次h(t)h(t)中必含有中必含有(t)(t),故设,故设 h(t)=A(t)+Bu(t)h(t)=A(t)+Bu(t)因而有因而有 h(t)=Au(t)h(t)=Au(t)将将h(t)h(t)与与h(t)h(t)分别代入原动态方程有分别代入原动态方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t)A(t)+Bu(t
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