数值分析57节.pptx
《数值分析57节.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析57节.pptx(68页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、12.5 埃尔米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等,下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式.而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等.2(5.1)这里共有 个插值条件,可惟一确定一个次数不超过的多项式 ,问题是求插值多项式 ,设在节点 上,现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.满足条件 其形式为3(5.2)将满足条件(5.1)的插值多项式 写成用插值基函数表示的形式(5.3)先求出 个插值基函数 及 ,每一个基函数都是 次多项式,且满足条件(5.1)4(5.2)(5.2)令 由条件
2、(5.2),有 由插值基函数所满足的条件(5.2),有 下面的问题就是如何求出这些基函数 及 利用拉格朗日插值基函数5解出 由于 整理得 6于是(5.4)两端取对数再求导,得 同理,可得(5.5)7 可以证明满足条件(5.1)的插值多项式是惟一的.用反证法,假设 及 均满足条件(5.1),这样,有 重根,但 是不高于 次的多 项式,于是在每个节点 上的值及导数值均为零,即 为二重根.故惟一性成立.(5.1)(5.1)8其中 且与 有关.若 在 内的 阶导数存在,则其插值余项(5.6)仿照拉格朗日插值余项的证明方法,可以证明:9(5.3)插值多项式(5.3)的重要特例是 的情形.这时可取节点为
3、及 ,插值多项式为 ,(5.7)相应的插值基函数为它们满足条件 满足1011(5.8)(5.9)根据 及 的一般表达式(5.4)及(5.5),可得到(5.4)(5.5)12(5.7)(5.10)其余项 ,于是满足条件(5.7)的插值多项式是 由(5.6)得(5.6)13 由给定的4个条件,可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点 求满足 及 的插值多项式及其余项表达式.例例4 4故其形式为14待定常数 ,可由条件 确定.其中 为待定函数.为了求出余项 的表达式,通过计算可得 可设15显然故 在 内有5个零点(二重根算两个).反复应用罗尔定理,得 在 内至少有一个零点,构造且故有16(
4、5.11)式中 位于 和 所界定的范围内.余项表达式为 于是 172.6 分段低次插值分段低次插值 2.6.1 高次插值的病态性质高次插值的病态性质 这是因为对任意的插值节点,当 时,不一定收敛到 .在次数 增加时逼近 的精度不一定也增加.根据区间 上给出的节点做出的插值多项式18所构造的拉格朗日插值多项式为 以 上的 个等距节点 考虑函数 ,它在 上的各阶导数均存在.令则19 表2-5列出了 时的 的计算结果及 在 上的误差20 可见,随 的增加,的绝对值几乎成倍增加.这说明当 时 在 上是不收敛的.龙格证明了,存在一个常数 ,使得当 时,而当 时 发散.21 取 根据计算画出 及 在 上的
5、图形,见图2-5.图2-522 从图上看到,在 附近,与 偏离很远,这说明用高次插值多项式 近似 效果并不好.通常不用高次插值,而用分段低次插值.23下图是用Matlab完成的Lagrange插值(附程序):24附:Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,r)gtext(Lagr.),gtext(y=1/(1+x2)title(Lagrange)25附:Lagrange插值子程
6、序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0;for k=1:n p=1.0;for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);end end s=p*y0(k)+s;end y(i)=s;end26 2.6.2 分段线性插值分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上
7、做满足一定条件的低阶插值.27 设已知节点 上的函数值 记求一折线函数 ,满足:在每个小区间 上是线性函数.则称 为分段线性插值函数分段线性插值函数.28 由定义可知 在每个小区间 上可表示为(6.1)若用插值基函数表示,则在整个区间 上 为(6.2)其中基函数 满足条件 其形式是29(6.3)利用插值余项(2.17)得到分段线性插值的误差估计(2.172.17)30或写成(6.4)其中31当 时,故 另一方面,这时 这种性质称为局部非零性质局部非零性质.分段线性插值基函数 只在 附近不为零,在其他地方均为零,利用 的局部非零性质及 知,32 现在证明 ,这里 是函数 在区间 上的连续模,即对
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 分析 57
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【胜****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【胜****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。