必修四平面向量复习分解.pptx

平平 面面 向向 量量 复复 习习平平 面面 向向 量量 表示表示运算运算 实数与向量实数与向量 的积的积 向量加法向量加法与减法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示向量的相关概念向量的相关概念一一.基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)几何表示几何表示2)2)字母表示字母表示3)3)坐标表示坐标表示AB有向线段有向线段AB向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 a=(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则一一.基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性3.3.单位向量单位向量一一.基本概念基本概念4.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.在保持在保持长度和方向不变的前提下长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动向量可以平行移动.平移先后两向量相等平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上(共线向量共线向量)区分向量平行、共线与几何平行、共线区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反长度相等且方向相反的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量.首要的是通过向量平移首要的是通过向量平移,使两个向量共起点使两个向量共起点7.7.两个非零向量两个非零向量 的夹角的夹角一一.基本概念基本概念1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则首尾相接首尾相接共起点共起点共起点共起点二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）向量加法的运算律向量加法的运算律(交换律、结合律）交换律、结合律）平平 面面 向向 量量 复复 习习1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC平平 面面 向向 量量 复复 习习2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OAB2）坐标运算）坐标运算:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=3 3.加加法运算率法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2,y1 y2)OAOB=在同一个平行四边形中把握：在同一个平行四边形中把握：及其模的关系及其模的关系ADBC3.3.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量是一个向量运算律运算律二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！4.4.两个非零向量两个非零向量 的的数量数量积积向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义可正可负可为零可正可负可为零二二.基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）运算律运算律5、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质（1）e a=a e=|a|cos（2）a b的条件是 a b=0 (3)当 a与b同向时，a b=|a|b|;当 a 与b 反向时，a b=-|a|b|特别地：a a=|a|2 或|a|=（4）cos=（5）|ab|a|b|a,b为非零向量，为非零向量，e为单位向量为单位向量二二.基本运算（坐标途径）基本运算（坐标途径）三三.两个等价条件两个等价条件四四.一个基本定理一个基本定理2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”来构建实系数方程组来构建实系数方程组练习练习1：判断正误，并简述理由。(）(）(）(）(）(）平平 面面 向向 量量 复复 习习2.设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD 应用举例应用举例例例3.3.向量的长度与夹角问题向量的长度与夹角问题 应用举例应用举例例例4.4.平行与垂直问题平行与垂直问题例例7.已知已知a=(1，1)，b=(4，5)，分别求，分别求a，b的单位向量。的单位向量。例例6.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三顶点的三顶点 A(1,3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点，求第四个顶点D和和中心中心M的坐标的坐标D(1，2)例例8.已知已知a=(3，2)，b=(1，0)，（1）求向量）求向量3a2b的坐标；的坐标；（2）求）求a+3b的长度；的长度；（3）求）求x的值，使的值，使xa+(3x)b与与3a2b为平为平行向量行向量(11，-6)2x=9例例9.已知向量已知向量a=(1，5)，b=(3，2)，求，求a在在b方向上的正射影的数量。方向上的正射影的数量。题型一:向量的基本概念 （1）（）（2）（）（3）题型二：平面向量的几何运算题型二：平面向量的几何运算CMND （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心题型三题型三:向量平行与垂直的条件向量平行与垂直的条件利用向量共线定理及向利用向量共线定理及向量减法运算证明量减法运算证明例例 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.题型四题型四:运用坐标运算解决求角或距离等问题运用坐标运算解决求角或距离等问题你能总结一下运用向量解决平面几何中角的你能总结一下运用向量解决平面几何中角的计算问题的方法、思路吗？计算问题的方法、思路吗？用坐标运算的方法解决下列问题：用坐标运算的方法解决下列问题：题型五题型五:向量与三角函数的综合向量与三角函数的综合1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘向量的坐标表示及加、减法，数乘向量；向量；向量的数量积；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量平行、垂直的充要条件；向量的向量的模、夹角等。模、夹角等。4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。1.(湖南湖南)设设D、E、F分别是分别是ABC的三边的三边BC、CA、AB上的点上的点,且且 =2 ，=2 ，=2 ,则则 （）A.反向平行反向平行 B.同向平行同向平行 C.互相垂直互相垂直 D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直2.(浙江浙江)已知已知 、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量量 满足，满足，则则 的最大值是的最大值是（）A.1 B.2 C.D.3.在在ABC中，若中，若 的值为的值为()A.1 B.3 C.D.4.5.1.(湖南湖南)设设D、E、F分别是分别是ABC的三边的三边BC、CA、AB上的点上的点,且且 =2 ，=2 ，=2 ,则则 （）A.反向平行反向平行 B.同向平行同向平行 C.互相垂直互相垂直 D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直解解:同学们能尝试用上述定比分点的向量式解决吗？同学们能尝试用上述定比分点的向量式解决吗？1.(湖南湖南)设设D、E、F分别是分别是ABC的三边的三边BC、CA、AB上的点上的点,且且 =2 ，=2 ，=2 ,则则 （）A.反向平行反向平行 B.同向平行同向平行 C.互相垂直互相垂直 D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直2.(浙江浙江)已知已知 、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量量 满足，满足，则则 的最大值是的最大值是（）A.1 B.2 C.D.方法一:向量式展开后整理有方法二方法二：方法三方法三：（：（借助图形分析借助图形分析）C在以在以AB为直径的圆上，当为直径的圆上，当OC为圆的直径时，为圆的直径时，取最大值取最大值 3.在在ABC中，若中，若 的值为的值为()A.1 B.3 C.D.分析：将两向量式相减有D【评注】注意向量的模与数量积之间的关系：4.5.做 一一 做解解（1）（2）如图建系，）如图建系，CxyA(a,0)B(0,b)DEAPCQBP1Q1Q2P2如图，分别将向量如图，分别将向量作作PP1 AB,QQ1 AB交交AB分别于分别于P1,P2.6.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=3,BC=,AC=2,AB=3,BC=,AC=2,若若O O为为ABCABC的外心，求的外心，求 及及 的值。的值。连结连结AO并延长交圆并延长交圆O于于D,连结连结CD,AD.解：解：D也可以利用也可以利用 在在 上的投影上的投影解决解决7.仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：